複素数平面

質問

白玉ｎ個と赤玉ｒ個が袋に入っている。ただし、n≧０，ｒ≧１とする。この袋から無作為にｒ個の玉を同時に取り出すとき、赤玉がｒ個出る確率をP(n,r)とする。
⑴、P(n,r)を求めよ。n!r!/(n+r)!
⑵、Σ(n=0→∞)P(n,2) を求めよ。２
⑶、等式P(n,3)=aP(n,2)+bP(n+1,2)がすべてのnで成り立つように定数a,bの値を定めよ。　a=3/2 b=-3/2
⑷、Σ(n=0→∞)P(n,３) を求めよ。3/2

ここまでは求められたのですが、
⑸、r≧４のときΣ(n→∞)P(n,r) をrを用いて表せ。が分かりませんでした。答えは r/(r-1)です。

回答No.1

f272

(3)と同じように
P(n,r+1)=cP(n,r)+dP(n+1,r)
となるc, dを求めます。c=(r+1)/r, d=-(r+1)/rです。
ここで上式をn=0から無限大まで加えると、S(r)=Σ(n=0→∞)P(n,r)として
S(r+1)=cS(r)+d(S(r)-P(0,r))
となります。計算すれば
S(r+1)=-dP(0,r)=(r+1)/r
ですので、Σ(n→∞)P(n,r)=r/(r-1)ですね。

お礼

御親切にありがとうございました！言われたとおりにやってみたら正解にたどりつきました。

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