切断された図形

質問

DM⊥MGと考え底面を三角形MBD、高さをMGとした三角錐として解いて正解しています。しかしDM⊥MGの根拠が分かりません。教えていただけませんか。

回答No.5

kiha181-tubasa · ベストアンサー

№３の回答で述べられていた，２つの平面の為す角についての定義
「２つの面のなす角とは，２つの平面上にある直線で，交わってできる直線に垂直である２つの直線のなす角のことです。ここで重要なのは「交わってできる直線に「垂直である」２つの直線」という表現です」
から次の事が言えます。

２つの面が垂直に交わっているときに，その２平面のうちの一つの平面（平面αとします）上の直線Ｌが交わってできる直線（ここで交線と呼ぶことにしましょう）に垂直であるとき，その直線Ｌは，もう一方の平面（平面βとします）上の交線に垂直な直線Ｍに垂直です。（∵２平面が垂直であることの定義）
これで，直線Ｌは平面β上の２直線（交線と直線Ｍ）に垂直になりました。従って直線Ｌは平面βと垂直になり，平面β上のすべての直線と垂直になります。

また，２平面が直交していなくとも，２平面の上の直線をうまく（交線には斜めの線になる）引いてやると直角は作れますよ。実際に紙で模型を作って実験してみればすぐにわかりますね。

回答No.4

gamma1854

DM=6*sqrt(2), MG=6*sqrt(3), DG=6*sqrt(5).
ですから明らかに、
DM^2+MG^2=DG^2
が成立します。

回答No.3

kiha181-tubasa

追加の質問に回答します。（良い質問ですね）

＞追加の質問ですが、２つの面が垂直に交わっているとき２つの面に引かれて交わる２本の直線も直交しますか。

結論は「直行しない」です。つまり，直行しない例があるという事です。以下にその理由を述べます。

（定義）２つの面のなす角とは，２つの平面上にある直線で，交わってできる直線に垂直である２つの直線のなす角のことです。ここで重要なのは「交わってできる直線に「垂直である」２つの直線」という表現です。

２つの面が垂直に交わっているとき２つの面に引かれて交わる２本の直線で直交しない例があることを次に示します。このような成り立たないことを示す例を「反例」といいます。反例を示すことで「成り立たないことを証明」したことになります。このことも覚えておいてください。

　質問の図形で平面ＡＥＨＤと平面ＡＥＦＢが垂直です。
　しかし，直線ＭＤと直線ＭＦは直線ＡＥに垂直ではありませんね。（∠ＡＭＤ=∠ＥＭＦ=45°）
そのとき
ＭＤ＝6√2，ＭＦ＝6√2は明らかですね。（１辺が６㎝の直角二等辺三角形の斜辺）
ＤＦは∠ＤＨＦ=90°の直角三角形の斜辺だから
ＤＦ＝√((DH)^2+(HF)^2)=√(12^2+(6√2)^2)=√(144+72)=√(144+72)=√216

すると
ＭＤ^2＝(6√2)^2=72，ＭＦ^2＝72，ＤＦ^2=216
だから
ＤＦ^2+ＭＤ^2＜ＤＦ^2
となり，三角形ＤＭＦは鈍角三角形ですね。つまり∠ＤＭＦは直角ではありません。

補足

なるほどそうするとどのようなときに直交しますか。２本の直線の方程式に成立する直交条件はありますか。

回答No.2

asuncion

＞２つの面が垂直に交わっているとき２つの面に引かれて交わる２本の直線も直交しますか。

ねじれの位置になる場合があるはずですので、
必ずしも全てが直交するわけではないと思います。

回答No.1

asuncion

△DMGにおいて
DM^2 = 6^2 + 6^2 = 72（∵1辺が6の直角二等辺三角形の斜辺）
MG^2 = 6^2 + 6^2 + 6^2 = 108（∵1辺が6の立方体の対角線）
GD^2 = 12^2 + 6^2 = 180（∵直角をはさむ2辺が12, 6の直角三角形の斜辺）
以上より、DM^2 + MG^2 = GD^2が成り立つから、
△DMGはGDを斜辺とする直角三角形で、その対角である
∠DMG = 90°ゆえ、DM⊥MGが成り立つ。

補足

ありががとうございます。了解しました。追加の質問ですが、２つの面が垂直に交わっているとき２つの面に引かれて交わる２本の直線も直交しますか。