2次関数

質問

以前質問したのですが、よくわからないのでまた、教えてください
関数f(x)=(x＾2)ー４ｘ＋4の定義域がp-1≦x≦p＋1
における最小値をm,最大値Mとおく
(i)mをpで表す
(ii)Mをpで表す
解き方１）で
最小値
(1) p＝0　の時、－1≦x≦1 で、最小値 f(1)…＜実はf(p＋1)＞
(2) p＝1　のとき、0≦x≦2 で、最小値 f(2)…※頂点＝f(p＋1)でもある
(3) p＝2　のとき、1≦x≦3 で、最小値 f(2)…※頂点
(4) p＝3　のとき、2≦x≦4 で、最小値 f(2)…※頂点＝f(p－1)でもある
(5) p＝4　のとき、3≦x≦5 で、最小値 f(3)…＜実はf(p－1)＞
の、f(1)…＜実はf(p＋1)＞
)…※頂点＝f(p＋1)でもある
)…※頂点
)…※頂点＝f(p－1)でもある
＜実はf(p－1)＞
の意味がよくわかりません
おしえてください
同じくそして、●チェックの結果、最小値は、
　p＝1 を境に、f(p＋1)　から　f(2)※頂点　へ変化します。
　p＝3 を境に、f(2)※頂点　から　f(p－1)　へ変化します。がどのように変化するのかよく理解できません。p＜1 のとき、m＝f(p＋1)＝＿＿＿＿＿＿
　1≦p＜3 のとき、f(2)＝0
　p≧3 のとき、m＝f(p－1)＝＿なるのかもよくわかりません
最大値
(1) p＝0　の時、－1≦x≦1 で、最大値 f(－1)…＜実はf(p－1)＞
(2) p＝1　のとき、0≦x≦2 で、最大値 f(0)…＜実はf(p－1)＞
(3) p＝2　のとき、1≦x≦3 で、最大値 f(1)＝f(3)＜f(p－1)＝f(p＋1)でもある＞
(4) p＝3　のとき、2≦x≦4 で、最大値 f(4)…＜実はf(p＋1)＞
(5) p＝4　のとき、3≦x≦5 で、最大値 f(5)…＜実はf(p＋1)＞
　おなじく
＜実はf(p－1)＞
＜実はf(p－1)＞
f(3)＜f(p－1)＝f(p＋1)がよくわかりません
p＝2 を境に、f(p－1)　から　f(p＋1)　へ変化します
●よって、
　p＜2 のとき、M＝f(p－1)＝＿＿＿＿＿＿
　p≧2 のとき、M＝f(p＋1)＝
お願いします

回答No.5

stone_wash

最小値を出す際も、場合分けしてもかまいませんが、同じ値になります。

この手の問題は、問題をこなすほど、パターン化されてきます。
私は覚えてるのが嫌いなのえ、絵を書いて自分で判断しています。

まず、与式のグラフを書いてから、定義域を動かしていくことにより、自分で探し出すのが答えでしょう。

なぜ？という質問に私は的確に答えれません。
しいて言うなら、与式を書いてから、定義域を動かしていったら、場合分けの必要がある個所が増えたため、分けたということになります。

私にはうまく答えられないので、他の方の回答を待ってください。

ちなみに、最大値の場合分けは、p<2、2<p、p=2、だけです。

回答No.4

stone_wash

最大値の時も同じなのです。
何度も他の方も書かれていますが、実際絵をかかれるのが一番有力とおもわれます。

最大値を最小値を同じ用に場合わけでも出せます。

ただ、最大値は
p-1<2<p+1
の場合わけのさい、ここの中でも場合わけが発生します。

絵を描きましたね？
与式が（軸x=2）が定義域の中にある場合、
最大値がf(p-1)であるときと、f(p+1)である場合が考えられます。
ではどんなときかと考えましょう。

定義域のp-1<x<p+1の中の中心というのは、{(p+1)+(p-1)}/2より、pの瞬間ですよね？
したがって、
定義域の中心であるpより軸（x=2）が小さい場合、即ち、2<pの場合、最大値はf(p+1)であり、

定義域の中心であるpより軸（x=2）が大きい場合、即ち、p<2の場合、最大値はf(p-1)となります。

そして、定義域の中心であるpと軸が一致した場合、即ち、P=2の時は、f(p+1)=f(p-1)なのです。

そして、他の場合わけである、
p+1<2
p+1=2
p-1<2<p+1
2=p-1
2<p-1
を出していくと、

最大値は
定義域の中間であるp=2を境にして、
p<2では、最大値はf(p-1)
2<pでは、最大値はf(p+1)
p=2では、最大値はf(p+1)=f(p-1)
となるのです。

このとき方は、見ていて分かるとおもいますが、かなり遠回りです。
遠回りしていけば、そのうち問題の意味。
場合わけの必要箇所がわかるとおもいます。
まぁ、解答例としてみたください。
この手の問題は、私は、絵を書きながらじゃないと上手く説明できので、わかりにくいかもしれませんね。

補足

よく分からない点があるのですが、なぜ、最小値の場合中間点を調べないで、最大値の場合は中間点をしらべるのですか？

回答No.3

stone_wash

久しくここに着たので、以前というのがわかりませんが、この問題は理解できたのでしょうか？
それとも、まだなのでしょうか？

とりあえず、mんだいの見方です。

まず、与式を平方完成すると、軸は２ですね。
さて、今回の問題はというと、定義域が動くというタイプなのです。
まずは最大だの最小だのを無視して、考えられる場合わけを考えましょう。

軸が2というのは不動のものです。
そして、定義域は可変のものです。

ですので、2を中心に定義域を左右に動かして見ましょう。

すると、
(1) p-1≦x≦p＋1が2より小さい（数直線では左にある）
(2) p-1≦x≦p＋1の中に2が含まれる（数直線では2が挟まれている）
(3) p-1≦x≦p＋1が2より大きい（数直線では右にある）
他には、
2とp-1と一致したとき。
2がp+1と一致したとき。
がありますが、まぁいいでしょう。

これらを見ると、詳細に場合わけすると
1) p+1<2
2) p+1=2
3) p-1<2<p+1
4) 2=p-1
5) 2<p-1
ですね。
あとは。絵を場合わけごとに書けば最大も最小もでますし、問題を理解することができれば、貴方の書いている質問の答えも分かります。
恐らく、理解できていないので、分からないとおもいます。

絵を描いて、自分で理解するのがいいですよ。
人の表現とかは分かりにくかったり、いままでのやり方と変わったりするので。

補足

ありがとうございます。
もしよろしかったら、最大値もおしえてくれませんか？

回答No.2

noname#17965

f(x)
●　　　｜　　　　　　●f(x)=(x-2)^2
　●　　｜　　　　　●
　●　　｜　　　　　●
　　●　｜　　　　●
　　●　｜　　　　●
　　　●｜　　　●
　　　４｜●　●
　　　　｜　●
-----------------------→ｘ
　　　　０　２

図を書くと上図のようになりますね。点（２，０）を頂点とする放物線です。ちなみにｙ軸との交点は（０，４）。

ｐが大きな値の時、グラフは以下のようになります。

　　　　f(x)　　　　　　・
・　　　｜　　　　　　・
　・　　｜　　　　　●　　　小さな点は定義域から
　・　　｜　　　　　●　　　外れてる部分です。
　　・　｜　　　　●　　　　さあ、最小値はどこ？
　　・　｜　　　　●　　　　x=p-1のとき最小値
　　　・｜　　　●　　　　　f(p-1)=(p-3)^2である
　　　４｜・　・　　　　　　とわかりますね。
　　　　｜　・
-----------------------→ｘ
　　　　０　２　↑ｐ↑
　　　　　　　　↑　　p+1
　　　　　　　 p-1

次にｐをちょっと小さくします。グラフは以下のようになります。

　　　　f(x)　　　　　　・
・　　　｜　　　　　　・　　定義域の下端x=p-1が
　・　　｜　　　　　・　　　位置x=2に近くなってます。
　・　　｜　　　　　・　　　つまりp-1≒2
　　・　｜　　　　・　　　　さあ、最小値はどこ？
　　・　｜　　　　●　　　　やっぱりx=p-1のとき最小値
　　　・｜　　　●　　　　　f(p-1)=(p-3)^2である
　　　４｜・　●　　　　　　とわかりますね。
　　　　｜　●
-----------------------→ｘ
　　　　０　２ｐ　↑
　　　　　　↑　　p+1
　　　　　　p-1
図で定義域の下端（ｘ＝ｐ－１）がx=2と同じ、つまりp-1=2よりp=3だったら、「最小値はｘ＝２の時ｆ(2)=0である」でいいです。しかし、「最小値はｘ＝p-1の時f(p-1)=(2)=0」でもいいですね。どちらでもＯＫです。ま、言ってることは同じです。

さて、ｐをもうちょっとだけ小さくします。
どうなるでしょう？？

　　　　f(x)
・　　　｜　　　　　　・　　定義域の下端p-1がちょっと
　・　　｜　　　　　・　　　頂点より左に出てますね。
　・　　｜　　　　　・　　　つまりp-1＜２です。
　　・　｜　　　　・　　　　さあ、最小値はどこ？
　　・　｜　　　　　　　　　f(p-1)は誤りですね。
　　　・｜　　　●　　　　　グラフの頂点部分が
　　　４｜●　●　　　　　　一番小さいです。
　　　　｜　●　　　　　　　ｘ＝２の時、
-----------------------→ｘ　最小値f(2)=0です。
　　　　０↑２　↑
　　　　　↑　　p+1
　　　　p-1

・・・ここまでを整理して考えると、
pが充分大きい、具体的には２≦ｐ－１ならば、「f(x)はx=p-1の時に最小値f(p-1)をとる」が正しいです。

さらにｐを小さくしていくと、ｐ－１＝２前後で

「f(x)はｘ＝ｐ－１の時、最小値f(p-1)=(x-3)^2」
から「f(x)はｘ＝２の時、最小値f(2)=0]
に変わることが分かります。丁度境目のp-1=2ではどっちでもいいですね。

さらにさらにpを小さくしていきます。長丁場になってますが、あなた読むだけでしょ？書く方も大変なんだから頑張って読んで下さい。

　　　　f(x)
・　　　｜　　　　　　・　　定義域の下端p-1が大幅に
　・　　｜　　　　　・　　　頂点より左に出てますね。
　・　　｜　　　　　・
　　・　｜　　　　・　　　　さあ、最小値はどこ？
　　・　｜　　　　・　　　まだまだ
　　　・●　　　・　　　　グラフの頂点部分が
　　　４｜●　●　　　　　　一番小さいです。
　　　　｜　●　　　　　　　ｘ＝２の時、
-----------------------→ｘ　最小値f(2)=0です。
　　　　０　２↑
　　　　　　　p+1
　　　p-1

もっともっとｐを小さく・・・・

　　　　f(x)
・　　　｜　　　　　　・　　定義域の今度は上端p+1が
　・　　｜　　　　　・　　　頂点に来てますね。
　・　　｜　　　　　・
　　・　｜　　　　・　　　　さあ、最小値はどこ？
　　・　｜　　　　・　　　まだまだ
　　　・●　　　・　　　　グラフの頂点部分が
　　　４｜●　・　　　　　　一番小さいです。
　　　　｜　●　　　　　　　ｘ＝２の時、
-----------------------→ｘ　最小値f(2)=0です。
　　　　０　２　　　　　　　　でも、もう限界近い、、
　　　　↑　↑
　　　p-1　　p+1

さぁ、、、これが最後だ。。。

　　　　f(x)
・　　　｜　　　　　　・　　定義域全体が
　・　　｜　　　　　・　　　頂点より左に来てますね。
　・　　｜　　　　　・
　　・　｜　　　　・　　　　さあ、最小値はどこ？
　　●　｜　　　　・　　　f(2)=0は誤りですね。
　　　●●　　　・　　　　f(p+1)=(p-1)^2
　　　４｜●　・　　　　　　
　　　　｜　・
-----------------------→ｘ
　　↑　０↑２　
　　↑　　↑
　　p-1　　p+1

まとめです。
ｐ－１≦２でしかも２≦p+１の時、つまり１≦ｐ≦３の時、「f(x)はｘ＝２で最小値f(2)=0」です。

ｐ+１≦２の時、つまりｐ≦１の時、「f(x)はｘ＝p+1で最小値f(p+1)=(x-1)^2」

これで分からなければ、、、また補足で質問して下さい。

補足

丁寧な説明ありがとうございます。
疑問なのですが、
初めから4番目の図の説明で
「f(x)はｘ＝ｐ－１の時、最小値f(p-1)=(x-3)^2」
は
「f(x)はｘ＝ｐ－１の時、最小値f(p-1)=(ｐ-3)^2」
ではないのでしょうか？

それから、もしよかったら
最大値についてもおしえてくれませんか？

回答No.1

shockerxxx

こういう問題はまず視覚的にとらえることが必要です。
方眼紙にまず放物線を書きましょう。なければキチット１ｃｍごとに線を引いて方眼紙を作りましょう。横幅１０ｃｍ、縦２５ｃｍあればいいでしょう。
ｘ軸は方眼紙の一番下の線でよいです。－３から６までｘの数字を記入して下さい。ｘ＝０のところにＹ軸を縦に書いて下さい。
放物線は（2,0）が頂点ですね。ｘ＝１と３のときｙ＝１，ｘ＝４と０のときｙ＝４、同様にｙ＝９，１６，２５です。しっかりつないで放物線を書きます。
さて問題はここからです。ＣＤケースを分解して利用しましょう。勉学のためには多少の犠牲は必要です。
分解したＣＤケースの蓋の真ん中中央に赤マジックで真っ直ぐ線を引きます。上部に赤でＰと記入します。そしてその赤線の両側にピッタリ１ｃｍの間隔で左右に各１本の黒線を引きます。
さらに、真ん中の２ｃｍを残して黒線の両端は紙を切ってテープでとめて見えなくします。その紙の右の黒線近くにＰ＋１、左の黒線の近くにＰ－１と書きます。さーもうわかりましたね。見える部分が定義域です。あとは中央の赤線（Ｐ）をずらしてゆくとどのように放物線の最小値、最大値が変化するか、わかるでしょう。（最小値：見えている放物線の一番低いところ）（最大値：見えている放物線の一番高いところ）