比、割合の計算

質問

小学生レベルの質問なんですが…
『ａｘ－３ｙ＝０, ２ｘ＋５ｙ＝０ の連立１次方程式が ｘ＝０, ｙ＝０ 以外の解を持つように、定数ａと解を１組求めよ。』という行列の問題で、最終的に『２式はともに ２ｘ＋５ｙ＝０ となり、解は無数にある。解は、ｘ＝５ｔ, ｙ＝－２ｔと表せるから～』となるんですが、２ｘ＋５ｙ＝０ から ｘ＝５ｔ, ｙ＝－２ｔ までの流れが、なんとなくは分かるんですが、どうもうまくつかめません。その過程を説明していただけますか？よろしくお願いします。

回答No.3

yukichi623 · ベストアンサー

ax-3y=0
2x+5y=0
のそれぞれの方程式を、y=の形に直すと、
y=a/3*x
y=-2/5*x
になりますよね。

んで、これらはどちらも原点をとおる直線なので、線形独立だったら交点は原点のみ。すなわちx=0,y=0となってしまうので、線形従属であることがそれ以外の解を持つ条件。

連立方程式の解というのは、複数の方程式の交点を見つければよいことでしたね。
今回は、ぴったり重なる２直線なので、直線全体が答えとなります。
xを適当にsと選んだ場合、最初の式変形の関係から、yは-2/5*sとなります。

すなわち、
x=s
y=-2/5*s
の関係を満たせば、必ず直線上の点となります。

ここで、sは任意に選べるので、さらに適当なtを選んで、s=5tとすれば・・・

と言う考え方が分かりやすいと思うんですが。どうでしょう？

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。回答ありがとうございました。初めに ｘ＝ｓとおき、その後に ｓ＝５ｔとおくと言う考え方で、すんなり理解できました。ありがとうございました。

回答No.5

JaritenCat

2x + 5y = 0
2x = -5y
両辺を2と5の最小公倍数10で割りましょう。
1/5 * x = -1/2 * y
これを t と置くと x=5t, y=-2t です。
わかるかな？

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。回答ありがとうございました。両辺を１０で割ってから、媒介変数で置けば整数の形で答えが出せたんですよね！ありがとうございました。

回答No.4

springside

高校数学の知識があれば一発なのですが、「範囲外」なんでしょう。

与えられた方程式を行列を用いて書くと、

（a　-3）（x）＝（0）・・・※
（2　 5）（y）　（0）

となる。
ここで、行列
　（a　-3）
　（2　 5）
が逆行列を持つと、その逆行列を※に左から掛けることにより、
　（x）＝（0）
　（y）　（0）
となるので、上記の行列は逆行列を持たない。
つまり、5a-(-6)=0であるから、a=-6/5である。

このとき、連立方程式の２式は、ともに2x+5y=0となるので、例えばx=5,y=-2が解の一つである。

お礼

回答ありがとうございました。２ｘ＋５ｙ＝０になるところまでは理解できていて、解が無数に存在するので媒介変数でおくところの過程でつまずいていたんです…

回答No.2

KENZOU

２ｘ＋５ｙ＝０より２ｘ＝－５ｙ。これからｘとｙに比を取るとｘ：ｙ＝－５：２となりますね。つまりｘとｙの比が－５：２(or５：－２）であればいいので、０でない適当な数ｔをとってやると、ｘ＝－５ｔ、ｙ＝２ｔ（orｘ＝５ｔ、ｙ＝－２ｔ）と書けますね。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。回答ありがとうございました。

回答No.1

noname#8027

直線と方向ベクトルの考え方はわかりますか？

x/a＝y/b の形で直線を表したとき、直線の方向のベクトルは(a,b)となります。

このとき、x=at y=bt というふうにあらわせるのです。この考え方は、３次元の直線を考えるとき、非常に役に立ちます。

ですから、
2x+5y=0 を変形して、

2x=-5y
両辺を１０で割って、
x/5=y/-2
となるので、上の考え方にあてはめると、x=5t y=-2t となります。

この説明でわからないぐらい学年が低い場合は細くしてください。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。回答ありがとうございました。２ｘ＝－５ｔの両辺を１０で割れば、きれいな整数の形で出せたんですよね！ありがとうございました。