背理法を利用した証明

質問

(2)についてです。
解説で、「x,yが有理数のとき～√3は無理数であるから、(1)により、3x-5y=0 」と、ありますが、(2x＋y-13)はなぜ=0にしなくて良いのでしょうか？
またどうして3x-5yを使って=をゼロにしていますか？

回答No.2

kiha181-tubasa

＞解説で、「x,yが有理数のとき～√3は無理数であるから、(1)により、3x-5y=0 」と、ありますが、(2x＋y-13)はなぜ=0にしなくて良いのでしょうか？
またどうして3x-5yを使って=をゼロにしていますか？

　なにかを述べようとするときには「論理的根拠」が必要です。
（２）でx,yを求めようとする際には（１）で証明したことが使えるのです。証明済みなので「論理的根拠」になります。
（１）で証明したのは「a,bが有理数であるとき，a+b√3=0ならばb=0である」という事です。
ですから，b=0にあたる3x-5y=0が言えるわけです。

※（１）でも，b=0をa+b√3=0に代入すれば，a=0も言えますね。つまりa=0かつb=0。
その事を述べれば，3x-5y=0かつ2x＋y-13=0の連立方程式を一気に書くことができます。
しかし，この（１）ではb=0しか述べて(証明して)いませんので，a=0つまり2x＋y-13=0と述べることは（２）での仕事となったわけです。

回答No.1

asuncion

2個の有理数p, qがあるとする。
1個の無理数rがあるとする。ここでは、テキストと同じく、
r = √3とする。

p + q√3 = 0
という式を考える。
解答の(1)より、q ≠ 0とすると矛盾が起きるから、q = 0でなければならない。
∴p + 0・√3 = 0より、pも0でなければならない。
画像の問題では
p = 2x + y - 13
q = 3x - 5y
となっているだけです。