熱力学 球形容器の膨張

質問

この画像の問題について質問があります。
Ⅰ(1)〜(3)までは
(1)ΔV=4πr^2･Δr
(2)Wout=ー(3RT)/r ･Δr
(3)W=8πσr･Δr
と導出しましたが、(4)ができません。

答え
(4)ΔUc ー8πσr･Δr ＋ (3RT)/r ･Δr ＋ 3/2RΔT
となっていたのですがどうしてでしょうか。
エネルギー保存則で解こうとしたのですが、うまくいきません。
解説していただけると嬉しいです。

回答No.5

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

＞ばね付きピストンシリンダーと同じように解きました。

二通りの解釈（気体のみの系とみるか、弾性力エネルギー込みの系とみるか）の比較が正確にできていて素晴らしいです。
この問題のΔrが積分のdxに該当することまできちんと把握できていて完璧です。

＞外部気体の圧力P0は微小変化より
P0≒(内部)気体の圧力P
としてよろしいのでしょうか。

ゆっくりと変化させる、という記述があるため、膜の内部と外部の圧力はつねに等しいと近似します。

お礼

何度も質問してしまいましたが、それに対し何度も丁寧に詳しくお答えしてくださりました。とても嬉しかったです。

大変助かりました!!
本当にありがとうございました!

補足

返答していただきありがとうございます。

自分1人では理解できずにいたので、お答えいただき嬉しかったです。
今、熱力学の問題がわからず、よく質問させていただいているのでまたお答えいただけたら、幸いです!!

丁寧に教えていただきありがとうございました。

回答No.4

上野 尚人（@uenotakato）

＞ピストンはゆっくり状態変化するので
ピストンの力のつり合いの式
PS=P0S+F
が立式できます。

ピストンとバネがつながっている問題の場合は、ピストン内の気体をひとつの系とみることが多いです。
ピストン内の気体に対して熱力学第一法則を適用します。気体がバネに対してする仕事は「ΔU = Q - W(out)」のうちのW(out)の部分に当てはめます。バネの弾性力エネルギーは、系のもつエネルギーに含みません。

それに対してこの問題は、系の中に容器のもつエネルギーも含まれています。
バネのたとえでいえば「ピストンとバネをひとつの系とみて、エネルギーの保存（熱力学第一法則）を適用しているようなもの」と解釈できるでしょう。

誘導に沿わずに、
ΔU = Q + { W(in) - ΔUc }
という式からスタートして、{ } の部分が「気体だけに注目した場合の『仕事』」に該当すると考えても同じ結果になります。
（移項するだけで同じ式になりますね）

※ちなみにどこの入試問題でしょうか。差し支えなければ教えていただけるとありがたいです。

補足

返答していただきありがとうございます。

私は、力学のように「される力」に注目したく、熱力学第一法則はΔU=Q(吸収)+W(された)で考えるようにしています。

力学だと
「注目物体が○○から『される』力(○○→注目物体)」で、
その物体の運動方程式やエネルギー保存則を考えますが、
熱力学では、直接、力から仕事を求める時、
「気体が○○に『する』力(気体→○○)」に注目して、
「気体が『する』仕事W」を求めて、符号をつけて「気体が『される』仕事W」に変換することが多いですよね。

ばね付きピストンシリンダーの場合、
「ピストンが○○から『される』力(○○→ピストン)」を考え、
ピストンでのつり合いの式を立て、その力の中にある「気体が『する』力」に注目して、「気体が『する』仕事」を考えるで合っていますでしょうか。

ピストンがばね(ばね定数k)が自然長の時につり合っている【初期状態】から、
ヒーターでピストン内の気体を加熱したところ、ピストンがL動いたところで静止した時、

ピストンが『される』力は
PS((内部)気体→ピストン)
P0S(外部気体→ピストン)
F(ばね→ピストン)
であり、
ピストンのつりあいの式
PS=P0S+Fより、
気体が『する』仕事W(気体が『する』力の仕事)= ∫PSdx [0→L]
=∫{P0S+F}dx [0→L]
=P0SL + 1/2 kL^2
気体が『される』仕事W=－(P0SL + 1/2 kL^2)

【ピストン内気体】系　
・エネルギー保存則(熱力学第一法則)

ΔU=Q(吸収)+W(された)
W(された)= －W(する)
より「気体が『する』力 PS」を考えて、
PS=P0S+F
W(する)=∫PSdx
=∫{P0S+F}dx= P0SL + 1/2 kL^2

PS=P0S+Fより、「弾性力F(ばね→ピストン)」が「気体が『する』力」に含まれて、「気体が『する』仕事」に「ばねが『する』仕事」が出てくる。

【ピストン(ばね付き)とピストン内気体】系
・エネルギー保存則

「気体が『される』力」
①ピストン→内部気体

「ピストンが『される』力」
❶(内部)気体→ピストン
❷外部気体→ピストン

①と❶は内力より、外力は❷のみ考えて
エネルギー保存則より
U(前)+Q(吸収)+W❷(された)＝U(後)+ばねE

ということでしょうか。

今回の入試の問題で当てはめると、

【球形容器内の気体】系　
・エネルギー保存則(熱力学第一法則)

膜が『される』力は
PS((内部)気体→膜)
P0S(外部気体→膜)
F(膜にかかる弾性力)

膜のつり合いの式
PS=P0S+F
より「気体が『する』力 PS」を考えて、
W(する)=∫PSdx
=∫{P0S+F}dx
=∫P0S dx + ∫F dx
=－(3RT)/r ･Δr + 8πσr･Δr
より、
Q(吸収(気))+Q(吸収(容器))
=ΔU－W(された) + ΔUc
=3/2 RΔT + (3RT)/r ･Δr －8πσr･Δr +ΔUc

【球形容器と球形容器内の気体】系
・エネルギー保存則

「気体が『される』力」
①膜→(内部)気体

「ピストンが『される』力」
❶(内部)気体→膜
❷外部気体→膜
❸膜にかかる弾性力

①と❶は内力より、外力は❷と❸を考えて
エネルギー保存則より
U(前)+Q(吸収(気))+Uc(前)+Q(吸収(容器))+W❷(された)+W❸(された)＝U(後)+Uc(後)
・
・
・

ばね付きピストンシリンダーと同じように解きました。

外部気体の圧力P0は微小変化より
P0≒(内部)気体の圧力P
としてよろしいのでしょうか。

※入試問題【2023年度　兵庫医科大学　一般選抜A(4科目型)の物理】
です。

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato）

＞[答] ΔUc - 8πσrΔr + (3RT)/r•Δr +3/2RΔT
なのですが、
ΔUcは球体容器の内部エネルギーの変化。
3/2RΔTも内部エネルギーの変化。
これは別物ということなのでしょうか。

結論は「別物」です。
この問題では、リード文に
「理想気体だけでなく、球形容器についても熱力学第一法則がなりたっているとせよ」
という記載があるため、熱力学第一法則の式がふだんと異なります。
（球形容器の内部エネルギー Uc とは、この容器自体の温度変化によるもの、簡単に言うと熱容量のようなものと考えてください）

ふだんは、熱力学第一法則より
ΔU = Q + W(in)
( W(in) : 気体が外部からされた仕事 )
となりますが、今回は
ΔU + ΔUc = Q + W(in)
となります。この式より

Q = ΔU + ΔUc - W(in)
= (3/2) R ΔT + ΔUc - (2) - (3)
という答が得られます。

補足

返答していただきありがとうございます。
きちんと問題文を把握していませ話でした。

まだお伺いしたいことがあります。すみません。
同じように弾性力を考える気体の問題で「ばね付きピストンシリンダー(断面積S)」がありますが、
ある状態でピストンが静止している時、ピストンにかかる力は
シリンダー内の気体(圧力P)から : PS(右向き)
ばねから弾性力 : F(左向き)
外部の気体(圧力P0)から : P0S(左向き)
とした時、
(図がなく、文章だけなので伝わっていない場合はすみません。。)

ピストンはゆっくり状態変化するので
ピストンの力のつり合いの式
PS=P0S+F
が立式できます。

今回、膜がばねの役割ではなく、膜自身が弾性力を受けて仕事をするのでしょうか。そうだとしたら、膜はゆっくり状態変化なので、ピストンのように膜にかかる力はつり合ってしまい、膜がする仕事があるのはなぜでしょうか。
すみません。混乱してます。。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato）

＞ΔUc と 3/2nRΔTの違いは何でしょうか。

理想気体の内部エネルギーは
U = Cv T
（Cvは定圧モル比熱）
で表されます。この式から
ΔU = Cv ΔT
という、内部エネルギーの変化量の式が得られます。

とくに単原子分子理想気体の場合は
Cv = (3/2) R
であり、
ΔU = (3/2) R ΔT
となります。

二原子分子理想気体の場合は Cv = (5/2) R となります。

補足

返答していただきありがとうございます。

説明してくださり、ありがとうございます!
説明してくださったことは理解はできていたのですが、この解答がまだよくわかりません。すみません。。

[答] ΔUc - 8πσrΔr + (3RT)/r•Δr +3/2RΔT
なのですが、
ΔUcは球体容器の内部エネルギーの変化。
3/2RΔTも内部エネルギーの変化。
これは別物ということなのでしょうか。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

気体の場合は、エネルギー保存則よりも
熱力学の第一法則を用いたほうがよいです。

ΔU = Q + W
Q ：加えた熱量
ΔU : 内部エネルギーの変化量
W : 気体が外部からされた仕事

今回は
ΔU = (3/2) R ΔT
（単原子分子理想気体1molであることを用いた）
W = - (3RT) / r ・Δr + 8πσr ・Δr
（気体が外部からされた仕事と、膜が外気からされた仕事の和）
であることから、
Q = -W + ΔU
とすることで加えられた熱量Qが求まります。

補足

返信が遅くなりすみません。。
計算の過程付きで返答していただきありがとうございます!

今年度の私立の問題で、まだ手元に解説がなく、予備校のサイトの解答速報で確認しました。
まだわからないところがあるのですが、
ΔUc と 3/2nRΔTの違いは何でしょうか。