自由加群について

質問

画像の問題について、
冒頭にAの極大イデアルmに対して、⊕ A/m⊕ A
≅⊕ A/mとありますが、なぜこうなるかが分かりません。
ご教授頂けますと幸いです。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

群の自然な全射準同型 f: {⊕_I} A → {⊕_I} (A/m) を考えた時、このfの核 ker(f)に対し、準同型定理から [{⊕_I} A] / ker(f) ≅ {⊕_I} (A/m) となる。
この ker(f) は何か？

補足

ご回答ありがとうございます。
準同型定理を使うのですね、
ただ、画像の剰余分子部分の記号m(⊕A)の意味が良く分からずでして、、、

自然な準同型f：⊕ A→⊕ A/m
(a1,...,an)→(a1+m,...,an+m)
(元の形はあくまで便宜上で)
とした時に、
任意の(a1,...,an)∈ker(f)={(a1,...,an)|f(a1,...,an)=0}
はf(a1,...,an)=(a1+M,...,an+M)=0=(M,…,M)より、
a1∈M,...,an∈M、つまり(a1,...,an)∈M×…×Mとなれば良いので、ker(f)={⊕_I}Mと書けば良いんじゃないかなと思ったのですが、、

また、今回証明では極大イデアルを取っていますが、これは存在しているからという感じでしょうか？他に極大イデアルでなければいけない理由とか何かありますか？

回答No.2

tmppassenger

> ker(f)={⊕_I}Mと書けば良いんじゃないかなと思ったのですが

mとMは今別の記号なので、それではだめですね。ker(f)={⊕_I}mです。
（mはAの極大イデアル、MはA上の加群）。
従って、[{⊕_I} A] / {⊕_I}m ≅ {⊕_I} (A/m) 。ここで、{⊕_I}mは {⊕_I} Aのイデアル（特に部分集合）になっています。

で、今「Mは可換環A上の加群」となっています。

ここで、『自然に』{⊕_I}A はA上の加群と見做せます（{⊕_I}Aに対し、Aからの左作用が自然と定義されます）。で、この左作用の積で m * {⊕_I} A = {⊕_I}m となるのはいいですか？（繰り返しますが、mはAのイデアル）。

で、もう一度振りかえって、「Mは可換環A上の加群」となっています。m*Mというのは、このAのMへの左作用としての積で定義しています。
で、[{⊕_I} A] / (m * {⊕_I} A) ≅ {⊕_I} (A/m) なのだから、M / (m*M)≅ {⊕_I}(A/m) となるのです。

> 今回証明では極大イデアルを取っていますが
定理2.3.14が分りませんが、きっと「ベクトル空間の基底の濃度は一定」というのではないですか？で、「ベクトル空間」というのは要は『体』上の自由加群ですね？この「ベクトル空間」の場合の定理を適用したいので、極大イデアルで割って体にしているのです。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます！
mはAのイデアルなので、左作用の積で m * {⊕_I} A = {⊕_I}m となっていること、完全に理解しました
(すみません、途中でmがMになってたのは単なる変換ミスです…失礼しました)
分かりやすくて助かりましたm(_ _)m