• ベストアンサー

(S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)=0の場合にのみS1=S2

数学の宿題で (S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)=0の場合にのみ S1=S2になることを証明せよ。 という問題がありました。 私は真理値表を書いて証明しました。 S1 S2 ¬S1 ¬S2 S1∩¬S2 ¬S1∩S2 (S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2) 0  0   1    1     0       0         0 0  1   1    0     0       1         1 1  0   0    1     1       0         1 1  1   0    0     0       0         0 S1とS2が両方0または1の時に(つまりS1=S2、両者が同じである時に) (S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)は0になります、と説明しました。 そしてその下にベンダイアグラムを書きました。 二つの円が少しずれて重なりあっていて、その重なった部分だけは0になります。 そして、二つの円が完全に一致すると(S1もS2も余白がなくなるので)すべて0になる、 という説明を添えました。 それを見て教授は「この表ではすべての場合が説明できない」と言っています。 例えばベンダイアグラムでS1とS2が完全に一致していないときに 任意のXをそのS1とS2の外にとれば、 ((S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)は一致していないので表によると1になるはずなのに) (S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)は0になるじゃないか、 と教授は説明しました。 それを聞いて混乱しています。 教授は「(S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)は"∪(union)"で判定しているのだから 全体が0になるには(S1-S2)か(S2-S1)の両方またはどちらかが0でなければならない、 それらが0になるにはS1とS2が同じでなければならない」と証明してほしかった、と言っています。 私と教授、どちらが正しいのでしょうか?

  • ginkgo
  • お礼率94% (132/139)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • BLUEPIXY
  • ベストアンサー率50% (3003/5914)
回答No.4

#2です 集合の要素の数で要素の数が0の時を0 0以外の時を1としても、 やはり同じですね。 ベン図を書けばわかりやすいと思います。 #2のお礼の部分は結局同じことを言ってるに過ぎません。 >証明してほしかった は、証明が間違っているということにはなりません。 限定された条件の時の場合を全て尽くして説明できるのであれば、それでも証明としては充分だと思います。 ただ、その説明の 「二つの円が少しずれて重なりあっていて、その重なった部分だけは0になります。 そして、二つの円が完全に一致すると(S1もS2も余白がなくなるので)すべて0になる」 がちょっと変なのかなと思います。 例えば、 重なった部分が0になるとは、 要素の数が0の意味だと重なっていないということだし、 1あるいは0の値を意味するのだったら、重ならない部分は、 0あるいは1で一致するので、よくわからない説明です。 ベン図を書いて説明するなら 式はS1とS2の重ならない部分の全体を表すので、 式が0になるには、そういった部分(重ならない部分)がなければならない(つまり一致している必要がある)と説明すればよかったと思います。 これは、結局教授のいう説明して欲しかった証明と同じです。 この説明が悪いので点があげられないと言われたらしょうがないですが、証明が悪いので点があげられないというなら、変だと思います。 私が正しいか、教授が正しいかと言えば、 式が正しいので、その点については別にいうことはありません。 あなたの証明がダメな理由として、教授が言っている点は間違っていると思います。 それを直接指摘するのは、教授にとって受け入れがたいかもしれないので、今後睨まれたりするのかもしれません。 だから、そこの所をはっきりさせたいのなら、 自分で指摘するのではなく、 教授自身におかしいと気づかせるような質問をするべきです。 例えば、「教授自身が指摘する、表では1になるはずなのに、0になる場合とは、S1とS2がどのような場合ですか?」と聞いてみればいいと思います。

ginkgo
質問者

お礼

>>証明してほしかった >は、証明が間違っているということにはなりません。 そうですよね。教授の証明の仕方が正しいのは分かりますが、 私の証明が間違っていることとは関係がありませんよね。 私の説明では要素数なのか値なのか、はっきりしてませんでしたね。 値のつもりだったのですが、引き算をしてしまうと 0ではなく空集合になってしまうので要素数なのかな…とまだはっきりしてないです。(^^ゞ (私の説明はまずかったかもしれませんが)証明自体は正しいみたいですね。 教授の持っていた本にも同じように説明されてましたし。それを見てうろたえてましたし。 実は昨日、教授の授業があったんですけど 私が(他の宿題のことについて)二回発言して 一回目は間違った解答をしたのですが 二回目に正しい解答をしたら「よく出来た」と褒めてくれました。 結局今回の質問の基となった問題には触れずにわだかまりもなく終えました。 結果よかったと思ってます。 ありがとうございました!

その他の回答 (3)

回答No.3

>2^2で4通りの場合しかあり得ません(よね? 汗)。 そうですね。表の下の説明に S1=S2 ⇒ (S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)=0 しか書いてなかったので。 「逆に、(S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)=0 のときは S1=S2=0 または S1=S2=1 でなければならない。」という説明をつければいいのでは?

ginkgo
質問者

お礼

(S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)=0 のときは S1=S2=0 または S1=S2=1 でなければならない。」という説明 >S1とS2が両方0または1の時に(つまりS1=S2、両者が同じである時に) (S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)は0になります、と説明しました。 うーん、既にしているのですが…。 ありがとうございました。

  • BLUEPIXY
  • ベストアンサー率50% (3003/5914)
回答No.2

演算の結果が0になるということは、 S1とS2が1と0の値を取りうるという意味だと思いますが、その意味においては、 全ての場合を尽くしているので、 S1=S2である時に(S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)は0になる は正しいと思います。 教授の言う 「任意のXをそのS1とS2の外にとれば、 ((S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)は一致していないので表によると1になるはずなのに) (S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)は0になるじゃないか」 は、 (S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)は0になる ではなく (S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)はφ(空集合)になるの意だと思いますが。 完全に一致していない時、(空集合同士でなければ) (S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)は空集合にはなりません。 逆に、 完全に一致しないという仮定のもとに (S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)の要素の数が0になる(空集合になる)場合とは、 実はS1とS2が一致しない部分がなかったという意味でもあります。 なので その教授のいうダメな場合という説明は間違っていると思うのですが。

ginkgo
質問者

お礼

ありがとうございます。 >演算の結果が0になるということは、 >S1とS2が1と0の値を取りうるという意味だと思いますが、その意味においては、 >全ての場合を尽くしているので、 >S1=S2である時に(S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)は0になる は正しいと思います。 ですよね。私もそう思います。 …ただ、この授業は形式言語を取り扱うための数学の授業なので もしかすると0と1以外の値も考慮しないといけないかもしれません。 それでもまだ私には証明できる自信があります。 そこで出来ればまた確認して戴きたいのですが 仮にS1が{a, b, c}, S2が{b, c, d}だとすると (S1-S2)={a} (S2-S1)={d} になり、(S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)は{a, d}で要素数は2で0にはなりません。 仮にS1が{a, b, c}, S2が{a, b, c}だとすると (S1-S2)={λ} (S2-S1)={λ} になり、(S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)は{λ}で要素数は0になります。 当然、S1とS2が{λ}であれば要素数はそのまま0になります。 これで十分な証明だと思われますか? それと…もし仮に私が正しいとしたら 教授にそうはっきりと言うべきでしょうか? 私は正しい答えが知りたかっただけですし、 教授は某有名州立大学卒でプライドもあると思うので 「やっぱり教授が正しかったです」とお茶を濁してもいいんですが…。 また質問してしまいましてすみません。

回答No.1

確かに、真理値表から判断して、 (S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)=0 ⇔ S1=S2 のようですが、 「(S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)=0の場合にのみ」の「のみ」というのが証明できていません。 それが、「この表ではすべての場合が説明できない」ということです。 ただ、私にもその先はちょっとわかりかねます。 中途半端ですみません。

ginkgo
質問者

お礼

ありがとうございます。 教授も混乱しているようなのですが S1,S2の二つの要素があり 0,1の二つの状態があるので 2^2で4通りの場合しかあり得ません(よね? 汗)。 それは私の表にも示されています。 そのうちの2通りが0になり 残りの2通りが1になるので 「(S1∩¬S2)∪(¬S1∩S2)=0の場合にのみ」の「のみ」は 説明できていると思っています。 やはり何か間違っていますでしょうか?

関連するQ&A

  • 真理値表

    (X+YZ)(Z+YX)を真理値表で証明する問題があります。 そもそも、真理値表って何でしょうか? 分かりやすく説明して頂けますと助かります。 宜しくお願い致します。

  • 対偶が正しいのは経験的なものですか?

    間違っている可能性がありますが、数学的に正しいと言われているのは、種類は二つあると思っていていまして、証明はできないが経験的に正しいものと、証明ができ、完全に正しいと言えるものです 証明はできないが経験的に正しいものの例としては、偶数 * 偶数を一つ一つ計算して、正しいと言えるかどうかを判断されているものです 2*2 =4 6 8 10 12 と何度計算し直しても、偶数になりますが、これは完璧に正しいものとは言えません なぜなら、偶数に当てはまる数を全て計算したわけではないので、命題 偶数 * 偶数=偶数が絶対に真であると言えないからです(私は、例としてこれを出しただけで、偶数*偶数を証明したいわけではありません) 証明ができ、完全に正しいと言えるものの例として、定理と言われているものです 質問タイトルの”経験的なもの”というのは、前述で説明した”証明はできないが経験的に正しいもの”という意味です この質問をしたところ、” 経験的ではありません 元の命題とその対偶の両方の真理値表を書いてみればよいです。” と返ってきましたが、この元の命題をAとすると、命題Aと命題Aの対偶の真偽が一致しているというだけで、全ての命題で正しいとは言えないので、対偶が正しいのは経験的と言えます

  • 「空集合はすべての集合の部分集合である」の説明

    忘れていた「空集合はすべての集合の部分集合である。」ということを、ふと思い出しました。 「はて、この証明は…?」ということで、考えたり、調べたりしたのですが、約束ごと(つまり定義)という説明があったり、論理学的に真理値表から導いていたりしていました。 高校の教科書では、「きまり」になっており、厳密な説明がなされていません。 わかりやすい、よい説明があれば教えてください。

  • キャノンのプリンタで余白が出来てしまう

    BJ-S500→PIXUS iP3300とキャノンのプリンタを使ってきました。 この両方共、JPEG画像をL版で写真印刷(L版でしか試したことないのですが)すると L版の短い辺に余白が出来てしまいます。フチ無し最大にしても出来ます。 「用紙幅に合わせる」という設定にしてるのですが、合わせたプレビューの時点で 余白が出来てます。 どうすれば余白を無くすことが出来ますか? 素人なのでうまく説明出来てるか分かりませんが よろしくご教授願います。

  • 真理値表の¬P∨QとP⇒Qについて

    (1)¬P∨QとP⇒Qが同値というのは、理解できます。 (2)¬P∨Qの場合の真理値表も同様に理解できます。 (3)しかし、P⇒Qの場合については、理解できません。   PがFの場合は、Qはどちらともいえないとするのがもっとも現実に即しているように思うのです。 一体どこがおかしいのでしょうか? 私の感覚ですか? それとも真理値表を定めるにあたって、何かルールを導入したために、日常の感覚から乖離してしまったのですか? だとすれば、それはどのようなルールなんでしょうか? 二値論理というルールがあることについては調べましたが、それだと(1)が矛盾してしまうのですが。 (1)(2)(3)全てを矛盾無く収める事ができません。 どうかご教授ください。

  • 事件が2つの場合の送付方法

    S裁判所に対して、A事件B事件両方の訴状を同時に送る場合などはどうしたらいいでしょうか? 両方まとめて送ると、送料が割安になりますが、訴訟費用確定のとき、送料の計算が複雑になるというか、不可能になります。 両者を分別して別の封筒で送ったほうがいいのですか? よろしくおねがい致します。

  • 不完全性定理から証明された「真理性 Ω は、ランダムである」とはどういうことですか?

    ゲーデルの不完全性定理の応用でチャイティンが、 「任意のシステム S において、そのランダム性を証明不可能なランダム数G が存在する」 という事を証明し、その後「真理性 Ω は、ランダムである。」という定理を発表したようですが、 この「真理性 Ω は、ランダムである。」とはどういう意味なのですか? 論理学も数学もほとんど無知ですが感覚的に分かるように説明して頂けませんか。よろしくお願いします。

  • フリップフロップの解法

    カテ違いかもしれないのですが、 RS-FFにおいて        _ S R|Q Q ----|------     |   _ 0  0|Q Q 0  1|0  1  → 1  0|1  0 1  1|不確定 (論理機能表)       SR     |00 01 11 10 -----|-------------- Q0 0 | 0 0 1 1    1 | 1 0 1 1 (カルノー図(入力3:S,R,Q0 出力:Q) となるらしいのですが、この場合の真理値表はどうなるのでしょうか。またカルノー図のQ0,Qはどこから出てきたのでしょうか。どなたか教えてください。 あと、できるのであればD-FFにおいての論理機能表,真理値表,カルノー図がどうなるのか教えてください。

  • ナナオ製品のS1731とS1721の比較

    趣味でイラストを描いてる者です。 使用しているのがVistaのノートPCなのですが、ディスプレイがワイドサイズで約15インチです。 しかし持っているタブレットがintuos3-630(作業領域がA5サイズ)なためワイドサイズだとペンタブ上に検知不可領域が生まれてしまいます。 それを埋めたいのに加えて作業領域を広くしたいを理由にスクエアタイプのディスプレイを新たに購入しようと考えています。 金額的に4万~5万が限度でかつスペース的に17インチの物しか置けません。 そこでいろいろと調べた結果ナナオの製品がいい評価を受けていたのでそちらを購入しようとしたのですが、 2つの候補FlexScan S1731SAとS1721SHのどちらを買うべきかについて相談しようと思いました。 自分なりに調べた結果では S1731・・・ディスプレイがアームの前に倒せる S1721・・・ディスプレイの位置は固定(画面の角度は調節できる) くらいの差しか見つけられませんでした。 ちなみにヨドバシカメラさんではS1731は50700円、S1721では46600円でした。 もし液晶パネル等の性能面において両者に大きな差が見られなければ安い方のS1721を購入しようと思いますが、 4000円追加してでもS1731を買うべきだという点があればご教授させたく思います。 近日中に購入しようと思っています。みなさんのご協力をお待ちしてますm(_ _)m

  • ヒストグラム 区間の境界値

    ヒストグラムで区間の境界値の求め方が示された後、次のような説明がある。 その説明が、よくわかりません。 ・この計算式により、境界値が測定値と一致することを避ける。 →一致を避ける理由はわからないが、一致を避けるために行う措置としては理解できる。 ・ただし第一区間では、最小値を用いなければならないわけではない。規格値に測定単位/2を加えたり減じたりして境界値の基準とすることもある。 →下限規格値にということなら、同じく一致を避ける理由はわからないが、一致を避けるために行う措置としては理解できる。 ・一方、規格値が両側にあるなら、両者ともこういう境界値にできるとは限らない。 →? 分かり易く、説明できる方はいらっしゃるでしょうか。 よろしければ御教授下さい。 宜しくお願いします。