正弦波の「長さ」

質問

正弦波

　y=sin(x) x: 0 ->π

の曲線に沿った「長さ」、の求め方を教えて下さい。
もしくは、そのものずばりの答えをお教え下さい。
0 ->πというのは、本質的ではなく、一周期分でもかまわないです。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

taropoo さんご紹介の前のスレッド
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=93498
でも書きました様に，y = a sin x の長さは
残念ながら初等関数では表現できません．

√{1 + a^2 cos^2 x}　の類の積分は，一般に不完全楕円積分になります．
cos^2 x のところを sin^2 x を使った表現に書き直すと
(1)　　√{1 + a^2 cos^2 x} = √(1+a^2) √{1 - k^2 sin^2 x}
(2)　　k^2 = a^2/(1+a^2)
になりますから，第二種不完全楕円積分
(3)　　E(φ,k) = ∫(0～φ) √{1-k^2 sin^2 θ} dθ
に帰着されます．
φ=π/2 としたのは完全楕円積分 E(k) と呼ばれています．

たとえ，φ=π/2 でも，残念ながら初等関数では表現できません．
楕円積分の数表は例えば岩波の数学公式集の付録にありますから，
それを参照すれば，任意のｋについて(すなわち任意のａについて)
sin の長さが求められます．

a=1 ですと，k=0.5 で，E(0.5) = 1.3504 ですから
(4)　　【0～π/2 の長さ】 = √(2)×1.3504 = 1.910
ですね．
0～πならこの２倍，0～2πならこの４倍です．

ちょこちょこっと急いでやったので，
どこかつまらないミスをしていなければいいのですが...

brogie さんの回答は途中で√がミスプリで落ちてしまいましたね．

> 線の微小長さdsは
> ds = √(dx^2 + dy^2)
> =√(1+cos^2(x))dx
>
> これを必要な範囲で積分すると
> s = ∫√(1+cos^2(x))dx　（範囲：０～π）
> です。

と修正しないといけませんね．

お礼

丁寧な回答をいただき、ありがとうございます。

参考にさせていただきました。

回答No.2

brogie

正弦波は
y=sin(x)

両辺の微分を取り
dy = cos(x)dx

線の微小長さdsは
ds = √(dx^2 + dy^2)
=(1+cos^2(x))dx

これを必要な範囲で積分すると
s = ∫(1+cos^2(x))dx　（範囲：０～π）
です。

ルンゲ・クッタ法で数値積分して求めては？

お礼

回答いただき、ありがとうございます。

実際には、自分でもプログラムを組んで数値計算していたのですが
（「積分とはこういうものだろう」という観念的な理解しかありません。
　数学をさけてきた人生なので、、、）
その精度に疑問を持ったために質問させていただいた次第でした。

なるほど、ルンゲ・クッタ法ですか。勉強させていただきました。
どうやら自分の数値計算法はオイラー法というものに相当するようです。

早速試してみようと思います。

回答No.1

taropoo

過去に同じ問題が質問されています。
お二人がご回答されていますがsiegmundさんは数学にはかなり長けた方なので信頼性ほぼ１００％です。
もうお一方ご回答されていますが、問題を良く把握されていない様子ですのでお気になさらない方が良いかと思います。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=93498

お礼

早速の回答、ありがとうございます。

リンク先を見てみました。

その、siegmundさん曰く
「残念ながら，この積分は初等関数では表されません」

、、あ、やっぱりそうなのね。
という感じです。