一意分解環の最大公約元、最小公倍元について

質問

表題の件で、画像の問題(1)~(3)の証明をご教授頂きたく質問させて頂きました。習いたての独学でどうしても分からない状態です。何卒ご回答頂けますと幸いです。

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

(2)
では最大公約元の方だけ
a[1], a[2], ..., a[m] の公約元 c について、（一意分解環なので）cを素元分解することを考えたとき
(2-1) cを割り切る素元が、p[1], p[2], ... , p[n] の中のどれかに限られることを示せ
(2-2) 非負整数kが、p[j]^k | c （cがp[j]^k を割り切る）（1≦j≦n）なら、k≦min{ α[1,j] , α[2,j], α[3,j], ... α[m,j]) } となる事を示せ。これを示すには、k > min{ α[1,j] , α[2,j], α[3,j], ... α[m,j]) } なら、k>α[ i,j] なる i (1≦i ≦m）がある。この時、c | a_i でなければいけないが、矛盾が生じることを示せ。
(2-3) (2-1)(2-2)と(1)を合わせて考えよ

お礼

回答ありがとうございました。
分からない点が複数ありもう一度定義の意味などを吟味して再度考え直します。

回答No.1

tmppassenger

だれでも最初は習いたてなので、自分で考えなくてはいけません。どう考えたか、補足に下さい。

先ずは(1)から

* A: 「a_iがbの約元であること」B: 「すべてのjに対して、a_{ij}≦b_jであること」が同値とは、A⇒B、B⇒Aが同時に成り立つことなので、これを示す。

B⇒Aは、ほぼ自明のはず。
A⇒Bは、対偶を示した方が良い。つまり、『「あるjが存在して、a_{ij} > b_j」ならば『a_iはbの約元ではない』ことを示す。p_j ^ (a_{ij}) はa_iの約元なので、b = B * ( p_j ^ b_j ) とおいた時、a_iがbの約元なら、p_j ^ (a_{ij})もbの約元であるゆえ、b = C * p_j ^ (a_{ij})とおける。
この時、環が整域である故、p_j | Bとならなければならないが、p_jが素元であることから、これが矛盾することを導け。

補足

ご回答ありがとうございます。
特に(2)について、問題の趣旨は
p1^min{α11,…,αm1}p2^min{α12,…,αm2}…pn^min{α1n,…,αmn}がa1,…,amの最大公約元になる
事を証明する(最小公倍元も同じ)という事だと思うのですがそこからの組み立て方について
最大公約元の定義は
b∈Aがa1,…,anの公約元でc∈Aがa1,…,anの任意の公約元ならb=cd(d∈A)のように表せる時bを最大公約元というとあります。
なので、a1,…,amの任意の公約元cを用いて
p1^min{α11,…,αm1}p2^min{α12,…,αm2}…pn^min{α1n,…,αmn}=cd(d∈A)のように表せれば良いと思うのですがその先が分かりません。
ご教授頂けますと幸いです。