円周率って何?円周率をだいたい理解するガイド

  • ガイド ( How to )
  • ありがとう数:0

はじめに

子供のときなんとなく円周率というのを習ったけど、何なのかよくわからない人のためのガイドです。

円周率(π)って何?というところから、よく出る円周率を使った問題と解き方、公式などのQAをピックアップしてます。

STEP1π(円周率)ってなんなんですか?

π(円周率)ってなんなんですか?

円周を直径で割った数なのはわかりますが、これではその割った数がなんなのかなどが全く分からないです…

また、この円にn角形(nは任意の自然数)を入れると円周率が求められるのはなぜでしょうか?
n角形に円周なんて存在しませんのに

>円周を直径で割った数なのはわかりますが

「円周を直径で割った数」って事は「直径を【円周を直径で割った数】倍すると、円周になる」って事です。

「直径」は「まっすぐ」だから、定規や物差しを当てて、長さを測れます。

ですが、円周は「ぐるっと回ってる」ので定規や物差しじゃ、長さを測れません。

なので「直径を計った時に、どうにかして円周の長さが判らないだろうか?」って考えました。

直径も円周も「長さ」なので「直径と円周の比率」が判れば「直径を計っただけで、円周の長さが判る」事になります。

その時の直径と円周の比率が「1:π」なのです。

「直径:円周=1:π」、って事です。

比の内積と外積は等しいので、外側同士を掛けたのと、内側同士を掛けたのは等しいですから

円周×1=直径×π

って式が出来ます。

両辺を直径で割ると

円周×1÷直径=直径÷直径×π

ですので、整理すると

円周÷直径=π

になります。

「円周を直径で割った数がπ」になりましたね。

そういう訳で「円周を直径で割った数」を何に使うかと言うと「直径を計っただけで円周の長さを求める時に使う」のです。

応用で「半径を計っただけで円の面積を求める」とか「半径を計っただけで球の体積を求める」のにも使えます。

どんな大きさの円でも円周÷直径の値が同一の値になるというのが円周率の意味です。

n角形を入れても円周率は求まりません。近似ができるだけ。

「π」って「円周を直径で割った数」をそう言うって
だけです。「π」自体に意味はありません。

「円周を直径で割った数」は直径(または円周)の
長さに依らず一定なんです。おまけにこの数字は
分数では表せないことが証明されている。

でも、その数字は円周が絡む図形の色々な場所
で出てくるんで、毎回「3.1415・・・」と書くのが
面倒だから「え~い!"π"と書いてしまえ」という
事になったんですね。

ですので、「π」そのものに意味なんぞありません。
単純に「3.1415・・・」と書くのが面倒だから、数学
の世界では「π」って書くと約束してるだけです。

同じような数字として自然対数の底の「e」とかが
あります。

円周率とは直径を1としたときの円周の長さと直径の比です。
比を出すため(直径の何倍なのか)に割り算をしたと言うことです。
例えば正方形の1辺と外周の長さの比は1辺を1とすると外周は4です。
ですから正方形の外周率(そういう言葉があるかどうかは分かりませんが)は4÷1だから4と言うことです。
正5角形なら5です。
それが円の場合は割り切れない数字なので仮にパイと表しただけです。

>この円にn角形(nは任意の自然数)を入れると円周率が求められるのはなぜでしょうか?

nを大きくしていくと、円と正n角形が似てくるからです。

nを3とか4とかにしても「正多角形と円は似ても似つかない」けど、nをどんどん大きくしていくと、正多角形と円がだんだん似てきて、nを1000にしたあたりでは、正1000角形と円がソックリになってきます。

正1000角形なら「1000個の辺の長さの合計は、計算で求まる」ので、計算が可能です。

>n角形に円周なんて存在しませんのに

nを無限に大きくすると、正n角形のn個の辺の長さの合計が、円周の長さに無限に近付きます。

STEP2円周率の求め方

円周率の求め方

円周率は3,141592……

などといいますが、

どのような式から出ている答えなんですか?

知ってる方、教えてください。

色々ありますが、早く正確に求めるならarcsinのテイラー展開に1/2を代入して6を掛ける方法があります。
ここでは式が複雑になって説明しにくいので、以下のURLを参照してください。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2

 
最も簡単な式は
円周÷直径

他には
マチンの式 π/4=4atn(1/5)-atn(1/239)
ハットンの式 π/4=3atn(1/4)+atn(5/99)
オイラーの式 π/4=atn(1/2)+atn(1/3)
ベガの式 π/4=4atn(1/5)-2atn(1/408)+atn(1/1393)
ダーゼの式 π/4=atn(1/2)+atn(1/5)+atn(1/8)
ガウスの式 π/4=12atn(1/18)+8atn(1/57)-5atn(1/239)
ラザフォードの式 π/4=4atn(1/5)-atn(1/70)+atn(1/99)
クリンジェンシェルナの式 π/4=8atn(1/10)-atn(1/239)-4atn

など

 

現在は、無限級数展開を利用する方法が一般的ですが、アルキメデスは円に内接、外接する正多角形の周長で計算し、3桁求めるのがせいぜいでした。
しかし、今はコンピューターの時代です。アルキメデスの方法でも、50桁や100桁は一瞬にして求めることができます。
これ↓は今、アルキメデスの方法によって求めた値の一部です。(正6*2^ 100角形で計算しました。)
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494450・・・
誰でも、家にいながら一瞬にしてこの計算ができるのですから、すごい時代になったものだと感心させられます。

STEP3円周率が無理数な理由

円周率が無理数な理由

円周率は円周を直径で割った数。円周の長さは一本の綱と考えれば長さを測れて有理数。直径も有理数。
割った答えも有理数のはずです。なのにπは無理数。


この説明の非を教えてください。

円周の長さは測れているようで、実は測れていません。

もし測ったとすると、きっと以下のような事が起きます。

「3より長いな。4までは行かない。じゃ、目盛りを0.1単位にして、と」
「3.1より長いな。3.2までは行かない。じゃ、目盛りを0.01単位にして、と」
「3.14より長いな。3.15までは行かない。じゃ、目盛りを0.001単位にして、と」
「3.141より(以下略)」

この「目盛りを10分の1づつ細かくして測り直し」をずっと繰り返す事になります。

死ぬまで繰り返しても終らないかも知れませんし、1000万年繰り返した後に「ピッタリ」になるかも知れません。

延々と繰り返しても終らないか、または、どこかで終りを迎えるかは、試す事が不可能です。

しかも「測ってピッタリになれば有理数」は正しそうに思えますが、この「ピッタリになる」は線に太さのない幾何学の世界でしか成り立ちません。

つまり、どんなに細い線を書いても太さが存在してしまう現実世界では「有理数の長さの物でも、ピッタリ測る事は不可能」なのです(メジャーや物差しに付いてる「目盛りの線」の太さをゼロに出来ない限り「このくらい」と言う誤差を含んだ長さしか測れない)

ですので、問題文の「円周の長さは一本の綱と考えれば長さを測れて有理数」の部分の「長さを測れて」という前提が間違っています。

それ以前に「現実世界で平面に真円を描くのが不可能」なんですけどね(「限りなく平面に近い凹凸のある面上に、限りなく真円に近い曲線を、限りなくゼロに近い太さの線で描く」と言うのは可能だけど、元から誤差を含んだ物を測る限りは結論は出ない)

>長さを測れて有理数。

長さを測れることと、
それが有理数であるか無理数であるかということは、
まったく関係がないので…。

「円周の長さは一本の綱と考えれば長さを測れて有理数」と言われていますが、有限の長さであって、有理数ではない。

 直径も同じく。

 だから、結果が、無理数であることになんのおかしさもありませんよね。
同じく有限の数なわけですから。

有理数とは整数の比であらわすことのできる数字であって、無理数ではそれができない数字です。ですから測定できるから有理数、できないから無理数というのではありません。

> 円周の長さは一本の綱と考えれば長さを測れて有理数
これがおかしいのでは?

例えば、1辺の長さが1の正方形の対角線は、有理数しか測ることの出来ないメジャーでは測れません。√2という目盛りのあるメジャーでなら、測ることが出来ます(理論上の話ですが)。

「測ることが出来るから有理数」というところがおかしいのだと思います。

円周の長さは一本の綱と考えれば長さを測れて有理数。
私は長さを測れて有理数とすることも可能だと思います。円周のながさを1と考えればいいからです。そのとき直径の長さが1/2πと無理数になります。

つまり、どんなに細い線を書いても太さが存在してしまう現実世界では「有理数の長さの物でも、ピッタリ測る事は不可能」なのです(メジャーや物差しに付いてる「目盛りの線」の太さをゼロに出来ない限り「このくらい」と言う誤差を含んだ長さしか測れない)

というNO8の人の回答ですが私は現実的なものはどんなものでもはかれる。
数学的な長さは数学的観念論理の産物で現実のものとは関係ないと思います。
現実には原子レベルまでいけばものさしのメモリはつけられなくなります。

STEP4おうぎ形の中心角の求め方

おうぎ形の中心角の求め方

おうぎがたの中心角の求め方(公式など)をおしえてください!


お願いします!

 扇形の中心角と弧の長さは比例します。角度が 「 °」であれば、

   弧の長さ=円周×中心角÷360

 という式になります。中心角を求める形にするなら

   中心角=弧の長さ÷円周×360

 円周は半径から出せますから

   中心角=弧の長さ÷(2×π×半径)×360

 とも表せます。
 

扇形の面積や弧の長さは中心角に比例します。半径をr、中心角をθ、円周率をπとすると
(1)面積(Sとします)
 S=πr^2*θ/360
(2)弧の長さ(Lとします)
 L=2πrθ/360

これらを変形してθ=の形にすればOKです。

STEP5円周から半径を求める方法

円周から半径を求める

タイトルのまんまなんですけれど、
円周から半径を求める方法があったと思うんですけど、
すっかり忘れてしまっているので教えて下さい。
円周率。ではないです。
例えば、円周73cmだったらその半径は何cmになるのか、その計算方法を知りたいのです。
とにかく数学が苦手なので、分かりやすく教えて頂けたら幸いです。

直径×円周率=円周
なので、
直径=円周÷円周率
直径=半径×2なので
半径×2=円周÷円周率
半径=円周÷円周率÷2
です!

円周は、2×π×半径です。

ですので

36.5/3.14で 約11cmですね。

STEP6円の中心の直線の求め方

円の中心の直線の求め方を教えてください。

座標平面上で、2点A(0,3)、B(6,1)がある。
このとき、次のことが言える。

(1) 2点A,Bを通る円C1の中心O1は、直線
y=(ア)x-(イ) 上にある。

(2) (1)で考えた円C1 の半径が2√5のとき、
中心が第一象限にある円C1の中心O1 の
座標はO1(ウ,エ)である。

(3) 直線ABに関して(2)で求めたC1と
対称な円C2の方程式を求めると
(xオカ)^2+(yキク)^2=ケコ である。
ただし、オとキは符号が入る。

(4)円C1と円C2とで囲まれた共通部分の
面積Sは S=(サシ)π(ス)(セソ)である。
ただし、スは符号が入り、πは円周率である。

(1)からわかりません。教えてください、
よろしくお願いします(T . T)

1)のヒントだけ。
いちばん判りやすいのはA,Bを結んだ線が直径の場合ですよね。
この場合は中心O1は線分ABの中点になりますから、中心の座標はO1(3,2)になります。
で、A,Bを結んだ線が直径以外になる場合ですが、円弧がA,Bを通る、ということは、線分AO1の長さ=線分BO1の長さ=半径 になります。
すなわち、A,O1,Bの3点を結んだ三角形AO1Bで考えると、AO1=BO1の二等辺三角形になります。
ということは、点O1から線分ABに垂線を下ろした場合、垂線の交点はかならず線分ABの中点(すなわち座標(3,2))になります。

ということは、円C1の中心O1は「点(3,2)を通り、直線ABと直交する線分の上」にあるということになります。

これを基本に考えるとあと2)3)4)も解けるかと思われます。

以上、ご参考まで。

まとめ

このユーザなら私の疑問や悩みを解決してくれそうと思ったら、
質問への回答をリクエストすることができます。

必要なもの

3月14日は3.14で円周率の日です。

特集


感謝でトクする時代へ!感謝経済に参加しよう!

ピックアップ

ページ先頭へ