正弦波の面積の公式について

質問

振動や衝撃関連の参考資料で、正弦半波の面積の式として

V = (2*9.8*D*G) / 3.14

D : 正弦半波の作用時間
G : 衝撃波形のピーク

有りますが、何方かこれを数学的に解説して頂けないでしょうか？

回答No.3

nikorin · ベストアンサー

D　　　　　　　　　　　　　　π
∫G・sin(πt/D)dt=DG/π∫sin(T)dT　.....(1)
　0　　　　　　　　　　　　　　0

ここはT=πt/Dと変数変換しています。このとき積分区間は
t=0でT=0、t=DでT=πなので[0,D]から[0,π]に変わります。
（前回答では変数変換後の積分区間を[0,D]としてましたが、上記のように[0,π]が正しいです。すみません。）
t=DT/πとして、tをTで微分すると
dt　D
--=--　.....(2)
dT　π

なので、

　D　　　　　　　　　　　π 　　　dt
∫G・sin(πt/D)dt=G∫sin(T)・--dT
　0　　　　　　　　　　　0　 　　　dT

　　　　　　　　　　　　　π 　　　　D
　　　　　　　　　　　=G∫sin(T)・--dT
　　　　　　　　　　　　　0　 　　　π

　　　　　　　　　　　=　(1)　の右辺

となります。

ある物体にD[s]の間、正弦半波状に力が加わった時の速度を出しているんですね。
力が加えられることによって生じる加速度を重力加速度のG倍、Gg(g=9.8[m/(s^2)])とすると、
この力が一様にかかっているならV=GgDでいいのですが、力が正弦波状なので、2/πという係数
が掛かって幾分速度が小さくなり、V=2gGD/πとなるわけです。

お礼

大変よく理解できました。

ありがとうございます。

回答No.2

nikorin

正弦半波の面積は
　D　　　　　　　　　　　　　　D
∫G・sin(πt/D)dt=DG/π∫sin(T)dT
　0　　　　　　　　　　　　　　0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　π
　　　　　　　　　　　=DG/π[-cos(T)]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0
　　　　　　　　　　　=2DG/π
となりますが、
V、Ｇ、9.8(重力加速度？)の単位がわからないので、これ以上はなんとも..

お礼

大体分かったのですが、もう少し補足をお願い致します。

まず分かったのは、この問題は単振動に当てはめる。
Gsinωt

ωは周期の公式より次のよに置き換えられる。
T=2D 2D=2π/ω---> ω=π/D

よって
G・sin(πt/D)

となることは分かりました。

しかし、
∫G・sin(πt/D)dt ---> DG/π∫sin(T)dT
と展開できるのかがさっぱり理解出来ません。
どんな公式を使えば可能なのですか？

もう少し詳細な説明をお願い致します。

補足

回答ありがとうございます。
Vは[m/s]、Gは重力（何と表現すれのが正しいのか。。。。。重力加速度の倍数ですかね？）、9.8は重力加速度です。

D/πはどういう意味になりますか？

回答No.1

nanashisan

面積の式というより加速度Gを積分して速度Vを求めています。
9.8は1G=9.8m/s^2の変換係数です。半波で時間DだからD/πをかけているのでしょう。