二次不等式

質問

「次の不等式が、指定された範囲内において、常に成り立つように、定数ｍの値の範囲を定めよ。
x2+2mx+1>=0 (0<=x<=2)　」
という問題がわかりません。答えはm>=-1となっています。誰か教えてください。
（x2はxの二乗を表しています。）

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

この手の問題は場合分けがポイントです。それからグラフを描いてみると良いですよ。

f(x) = x^2+2mx+1
とします。(x^2はxの2乗の意味です。）
[1] f(x) (0≦x<≦2)の最小値はどこにあるかを考えます。これは２次式だから、最小値を取りうるのは両端点(x=0、x=2)か、放物線の頂点のどれかです。この３通りを分けて考える必要がある。ここが一番のポイント。
[2] x^2の項の係数は1で、これは正だから、(x,f(x))のグラフは下に凸の放物線です。従って、放物線の頂点が最小である可能性が除外できません。（上に凸なら頂点は最大値にしかなりえないんですがね。）
[3] 頂点の位置(xp,f(xp))を求める。一般にa x^2 + b x + cの頂点のx座標xpは2a xp+b=0を満たします。（微分法をご存じなら、これはf'(xp)=0という方程式を作ることに相当するのがお分かりになるはず。）
これでf(xp)≧0になるようなmの範囲が決まりますね。
あるいは[3']のように考えても良い。
[3']f(xp)≧0。つまり放物線の頂点がx軸に接するか、それより上になる。これは、方程式
x^2+2mx+1=0
が重解を持つか、解がない場合に相当します。ということは、判別式D≦0であるようなmの範囲を求めればよい。
[4] この頂点のx座標xpが指定されたxの範囲(0≦x≦2)に収まるならば、(xp,f(xp))が曲線の一番低い場所です。もしxpが範囲(0≦x≦2)からはみ出すならば、x=0かx=2が最小ということになる。（グラフを描いてみると良くわかります。）
[4-1]収まる場合：
(A) 0≦xp≦2 。が成り立つようなmの範囲を求めます。mがこの範囲にあるとき、曲線の内で一番低い場所は放物線の頂点である。そして
(B)[3]頂点がf(xp)≧0であるにはmはどういう範囲に入ればよいか。
この(A)と(B)が両方成り立つようなmの範囲を求めます。
[4-2] はみ出す場合(1)　xp≦0の場合：xpは範囲(0≦x≦2)の外ですから、両端点だけ考えればよい。
(A) 放物線は下に凸ですから、xp≦0であれば、x=0のときよりx=2の時のほうがf(x)の値が大きい。(グラフを描いてみれば分かります。）だから
(B) f(0)≧0であるにはmが幾らであればよいか、という問題です。
この(A)と(B)が両方成り立つようなmの範囲を求めます。
[4-3] はみ出す場合(2) 　xp≧2の場合：これも両端点だけ考えればよい。[4-2]と同様です。
[5] 以上をまとめると
[4-1]、[4-2]、[4-3]のどれかが成り立つmであれば、(0≦x<≦2)である任意のxについてf(x)≧0になる。これが答ですね。

お礼

このことを理解すれば、明日のテストはもうばっちりですよ。どうもありがとうございました。

回答No.3

taropoo

x^2 + 2mx + 1 ≧ 0 を x^2 + 1 ≧ -2m x と書きなおして、
直線 y = -2m x と放物線 y = x^2 + 1 との上下関係を調べます。

直線 y = -2m x が放物線 y = x^2 + 1 と接するためには
x^2 + 2m x + 1 = 0 の判別式Dが0、よって
　　　　m^2 - 1 = 0　∴ m = ±1
このとき x^2 ±2 x + 1 = 0　∴x = ±1
即ち、この直線と放物線が接するとするとそのxの値は±1です。

よって、0≦x≦2 で直線が放物線の下または接するための条件は
傾き -2m が直線と放物線が x = 1 で接する時の値 m = -1 以下であれば良い。
ゆえに求める条件は m ≧ -1
となります。

お礼

なるほど、こういう解き方があったとは....。ご回答ありがとうございました。

回答No.2

shushou

f(x)=x^2+2mx+1 とおくと
f(x)=(x+m)^2-m^2+1 となるので軸はx=-m ですね。
軸が指定された範囲に入っているかどうかで場合わけします。
各場合において0≦x≦2における最小値(これをminと書くことにします）
が0以上となるようなmの範囲を求めればよいのです。

(i) -m<0のとき　(m>0のとき)
min=f(0)=1≧0　より　m>0は適します。

(ii)　0≦-m≦2のとき　(-2≦m≦0のとき)
min=f(-m)=-m^2+1≧0　より　-1≦m≦1　　
よってこのときは　-1≦m≦0　が適することになります。

(iii) -m>2 のとき　(m<-2のとき)
min=f(2)=4m+5≧0　より　m≧-5/4
よってこのときは適するmはありません。

以上(i),(ii),(iii)より答えはm≧-1となりますね。
高１の方でしょうか。私も高１のときこういう場合わけのある問題
なかなか分かんなかったです。勉強頑張ってください。

お礼

なるほど、よくわかりました。明日テストなのでとても助かりました。ご回答ありがとうございました。