続 素数の性質

質問

http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=96783
に素数の性質として
６ｎ±１があげられましたが、
解説をみても、２と３の倍数でない証明しかできてないように、おもえます。

ちなみは３５は６ｎ±１ですが、素数ではないですよね。

皆さんのご意見をお待ちします。

回答No.6

stomachman

おお、そういうご主旨でしたか。stomachmanの記載が曖昧だったですね。

a,b,....,zにそれぞれ勝手な自然数を代入して、f(a,b,....,z)を計算する。もしf(a,b,....,z)≧0であれば、f(a,b,....,z)は必ず素数である。

そういう式f(a,b,....,z)がある。という意味です。

お礼

ありがとうございます。

そういう意味でしたか。
これも証明ではなくて、そういう式の存在をしめしたものだったんですね。

知識が増えました。
でもなんで２６個の変数をもつ式なんでしょうね。

なんとなくあいまいですが、とりあえず、
閉めさせてもらいます。

回答No.5

stomachman

> ところで２６個の変数を持つ関数の件は
> ｆ（ａ，・・・ｚ）＝ａ＋ｂ＋・・・＋ｚ
> でもなりたつのでしょうか？

？？どういう意味でしょう？？

ａ，・・・ｚに全部１を代入してみて、成り立つかどうかお考えになってみては？

補足

>　また、26個の変数を持つ関数f(a,b,c,....,z)で、
>a～zにどんな自然数を代入しても、もしf(a,b,...,z)≧0
>になれば、それは素数になっている。そういう式も
>知られています。
　このように、STOMACHMANさんがお書きになっていることに対しての関数例をあげたのですが、解釈が違ってましたか？
素数になっているのは、ｆ（ａ，・・・ｚ）の値のことですが？
ご面倒でなければ、教えてください。

回答No.4

stomachman

x^2 + x + 41
この式もオイラーによるもので、x=0,1,2,....,39のどれを代入しても、全部素数になります。
　また、26個の変数を持つ関数f(a,b,c,....,z)で、a～zにどんな自然数を代入しても、もしf(a,b,...,z)≧0になれば、それは素数になっている。そういう式も知られています。
　でも、n番目の素数を簡単に計算する式g(n)は知られていません。

・また、与えられた数が素数かどうかをごく簡単に判定する方法もなく、必ず手間が掛かる。桁数が多くなると大変です。その手間を少しでも減らそうと、様々な深遠な理論に基づいたアルゴリズムが研究されています。

お礼

ご回答ありがとうございます。
他にもあったのですね。

ところで２６個の変数を持つ関数の件は
ｆ（ａ，・・・ｚ）＝ａ＋ｂ＋・・・＋ｚ
でもなりたつのでしょうか？
（これもなんか勘違いしてるかな？）
時間があれば、教えてください。

回答No.3

noname#7269

ひさしぶりにきちんと考えちゃいました。
まず、２ｎ±１はすべての奇数を表しますよね。
＋または－だけでいいけど。
（ここでは、自然数で議論しています）
　　　３ｎ±１はすべての数を表しています。
　　　４ｎ±１ははすべての奇数を表しますよね。
そこで、６ｎ±１、±３　あわせてすべての奇数を表す。
ここまで良いでしょうか。
６ｎ±３は３の倍数を表しますので、６ｎ±１はすべての奇数から３の倍数を除いただけです。
素数はだからこの式で表すことができるのです。
しかし、すべての奇数から３の倍数を除いただけですから
３５、２５、４９なども入るのです。
他の数の倍数になっているのかどうかまではこの式では
分からないのです。
こんなもんでよろしいでしょうか。
分かりにくいなら、また砕いてかきます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
基本的には、問題をちゃんと理解してなかったわけでした。

ところで、namimanaさんがおっしゃるように、
2n±１も確かに素数の性質といえるわけで、
その意味で６ｎ±１もそうだといえますね。

これ以外にももっと沢山あるようで、なんとなく
だまされたような感覚に陥ってます。

一瞬、すごいなあと思ったのですが、（６ｎ±１＝＞素数と思い込んでたので）その反動もあるみたいです。
（あ、すいません、いいわけじみた、愚痴を書いちゃって）

ありがとうございました。

回答No.2

siegmund

rei00 さんと同じことですが，

○ 素数は 6n±1 の形に限られる (2,3 は除く)．
○ 6n±1 が全部素数とは限らない．

ということです．

f(n) のｎに自然数(or 整数)を代入してゆくと素数だけが生成される，
というような式 f(n) は知られていません．
まして，すべての素数を生成するような f(n) も当然知られていません．

歴史的に有名なのは，フェルマー数 F(n) = 2^{2^n}+1 です．
F(0)＝2^1 + 1 = 3
F(1)＝2^2 + 1 = 5
F(2)＝2^4 + 1 = 17
F(3)＝2^8 + 1 = 257
F(4)＝2^16 + 1 = 65537
で，ここまでは素数ですが，残念ながら F(5) は
F(5)＝641×6700417
で素数ではありません(オイラーの発見による)．
n≧5 で F(n) が素数である例は知られていないようです．

なお，フェルマー数 F(n) は正ｎ角形の作図と深い関係があります．
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=40706
の私の回答をご覧下さい．

お礼

ご回答ありがとうございました。
問題をちゃんと理解してなかったようです。
フェルマ数は、初耳でした。
勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.1

rei00

先の質問でお書きなのは，「素数　→　６ｎ±１」ですね。

御質問については，その回答の ANo.#5 で shine_life さんが書かれています。

「６ｎ±１であることは素数であるための必要条件です。」
「必要条件なので６ｎ±１であっても素数とは限らない」です。

いかがでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
おっしゃるとおりでした。

よくみると性質なんで、６ｎ±１が素数である必要は
ないわけです。

読みがあさかったです。