続　素数の性質(1/2)

おお、そういうご主旨でしたか。stomachmanの記載が曖昧だったですね。

a,b,....,zにそれぞれ勝手な自然数を代入して、f(a,b,....,z)を計算する。もしf(a,b,....,z)≧0であれば、f(a,b,....,z)は必ず素数である。

そういう式f(a,b,....,z)がある。という意味です。

投稿日時 - 2001-07-03 15:35:45

> ところで２６個の変数を持つ関数の件は
> ｆ（ａ，・・・ｚ）＝ａ＋ｂ＋・・・＋ｚ
> でもなりたつのでしょうか？

？？どういう意味でしょう？？

ａ，・・・ｚに全部１を代入してみて、成り立つかどうかお考えになってみては？

投稿日時 - 2001-07-02 23:55:12

x^2 + x + 41
この式もオイラーによるもので、x=0,1,2,....,39のどれを代入しても、全部素数になります。
　また、26個の変数を持つ関数f(a,b,c,....,z)で、a～zにどんな自然数を代入しても、もしf(a,b,...,z)≧0になれば、それは素数になっている。そういう式も知られています。
　でも、n番目の素数を簡単に計算する式g(n)は知られていません。

・また、与えられた数が素数かどうかをごく簡単に判定する方法もなく、必ず手間が掛かる。桁数が多くなると大変です。その手間を少しでも減らそうと、様々な深遠な理論に基づいたアルゴリズムが研究されています。

投稿日時 - 2001-07-01 17:09:26

ひさしぶりにきちんと考えちゃいました。
まず、２ｎ±１はすべての奇数を表しますよね。
＋または－だけでいいけど。
（ここでは、自然数で議論しています）
　　　３ｎ±１はすべての数を表しています。
　　　４ｎ±１ははすべての奇数を表しますよね。
そこで、６ｎ±１、±３　あわせてすべての奇数を表す。
ここまで良いでしょうか。
６ｎ±３は３の倍数を表しますので、６ｎ±１はすべての奇数から３の倍数を除いただけです。
素数はだからこの式で表すことができるのです。
しかし、すべての奇数から３の倍数を除いただけですから
３５、２５、４９なども入るのです。
他の数の倍数になっているのかどうかまではこの式では
分からないのです。
こんなもんでよろしいでしょうか。
分かりにくいなら、また砕いてかきます。

投稿日時 - 2001-06-30 22:19:29

rei00 さんと同じことですが，

○ 素数は 6n±1 の形に限られる (2,3 は除く)．
○ 6n±1 が全部素数とは限らない．

ということです．

f(n) のｎに自然数(or 整数)を代入してゆくと素数だけが生成される，
というような式 f(n) は知られていません．
まして，すべての素数を生成するような f(n) も当然知られていません．

歴史的に有名なのは，フェルマー数 F(n) = 2^{2^n}+1 です．
F(0)＝2^1 + 1 = 3
F(1)＝2^2 + 1 = 5
F(2)＝2^4 + 1 = 17
F(3)＝2^8 + 1 = 257
F(4)＝2^16 + 1 = 65537
で，ここまでは素数ですが，残念ながら F(5) は
F(5)＝641×6700417
で素数ではありません(オイラーの発見による)．
n≧5 で F(n) が素数である例は知られていないようです．

なお，フェルマー数 F(n) は正ｎ角形の作図と深い関係があります．
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=40706
の私の回答をご覧下さい．

投稿日時 - 2001-06-30 13:50:27