証明してください．

質問

∫(a-x^2)^(1/2)dx=1/2{x(a-x^2)^(1/2)+a*sin^(-1)(x/a)}

回答No.4

shroeder · ベストアンサー

何箇所かのaはa^2の誤りでしょう。
有名な積分なので少し詳しい教科書か参考書に載っています。

まず (1-x^2)^(-1/2)の不定積分は sin^{-1}x（またはArcsin xとも書きます）
したがって 、置換積分によって(a^2-x^2)^(-1/2)の不定積分は
sin^{-1}(x/a) です。

次に(a^2-x^2)^(1/2)を1=(x)'と(a^2-x^2)^(1/2)の積だと思って
部分積分を行うと
x(a^2-x^2)^(1/2)-∫(-x^2)dx/(a^2-x^2)^(1/2)
となります。
第２項の積分を ∫(a^2-x^2)dx/(a^2-x^2)^(1/2)-a^2∫dx/(a^2-x^2)^(1/2)
と書き換えると,求めたい積分とArcsinになるので、移項して
２で割ればよいのです。だから最後のsin^{-1}の係数はa^2となる筈です。

回答No.3

noname#598

毎度おなじみのポカです（笑）
最後は「～」＋Ｃ　（Ｃは積分定数）

がつきます。失礼しました　ｍ（。－_－。）ｍ

回答No.2

noname#598

私も成り立たない気がするので、

a>0とし、√a=b　とする。
∫(b^2-x^2)^(1/2)dx を計算することにします。

x=b*sint とすると、dx=b*costdt　また、t=Arcsin(x/b) ⇒t=Arcsin(x/√a) ここが違うのでは？？？

左辺＝b^2∫{1-(sint)^2}^(1/2)*costdt＝a∫{(cos)^2}^(1/2)*costdt
cost>0のとき、{(cos)^2}^(1/2)=cost だから
　　＝a∫(cost)^2dt
　　＝a/2∫(1+cos2t)dt
　　＝a/2(ｔ+(sin2t)/2)
　　＝a/2(Arcsin(x/√a)+sintcost)
　　＝1/2(a*Arcsin(x/√a)+asintcost)
ここで、　
　　cost=(1-(sint)^2)^(1/2)=(1/√a)*(a-x^2)^(1/2)、sint=(x/√a)より、
　 asintcost=x(a-x^2)^(1/2)
cost<0の場合も同様。

よって、求める不定積分は1/2{x(a-x^2)^(1/2)＋a*Arcsin(x/√a)}

お礼

ありがとうございました．私も同じ答えになりました．やっぱり問題が間違っていたみたいですね．

回答No.1

takebe

等式の証明ということでしたら，右辺を微分するというのはいかがでしょうか．

# 私が計算してみたところ，同じになりそうになかったのですが...(-_-;)