数学が定義する「点」には種類があるのでしょうか

質問

直線は1種類かと思いますが、点も１種類なのでしょうか。

回答No.2

notnot · ベストアンサー

幾何学的な意味での点であれば、一種類です。

幾何学的な意味での点と、実数・微積分などで出てくる点が同じかどうかは私には説明できない。

お礼

私のような素朴な頭で考えているのは幾何学的な点だと思います。ご教示でおっしゃられてから気が付きましたが、私がした質問は、代数学的？点との違いがあるかどうかと言う事だったことに気が付きました。

回答No.1

tmpname

数学の世界で「点」というのは、何か（数学的構造を持った）ある集合の中の一つの要素（元）に対して広く使う言葉です。

一つの例としては、ある集合の中の任意の2つの元の間に「距離」が定義されていて、それを元に、その集合の中の「点列」（点からなる列）がある「点」に収束する（無限に近付く、といった感じ）、とか言うことを議論する事があります（距離空間）。
で、どんな集合の上にどんな距離を定義するかは色々な局面があります。例えば2次元平面上の「点」同士の距離を考えるのはその内の一つの例ですが、他にも閉区間上の連続関数同士の間に「距離」を定義して、連続関数の列が別の連続関数に収束するか、とかいうことを議論することも「良く」あります。このような場合は、そのような連続関数一つ一つを「点」と見なすわけです。
他にも、集合からなる集合（位相空間とか）では、（全体）集合の元であるそれぞれの集合を「点」とみなします。又、今の例だと、二次元平面上の直線全体からなる集合を考えれば、その集合では一つ一つの直線が「点」とみなせる訳です。

お礼

繰り返し読ませていただいて私なりの理解を少しでも進ませたいと思います。数学でいう集合はこれまた難しくて私には無理かと思いますが、勉強してみたいです。