数学IIIの問題です。お願いします。

質問

問題
1＋r^2n

解答が
＝1＋(r^2)n
0≦r^2＜1つまり　-1＜r＜1の時 1に収束する。
r^2=1 つまり　r±1の時　　　2に収束する。
r-2＞1　 つまり　r＜-1 1＜rの時　正の無限大に発散する。
※という解答ですが、どうやって範囲を導く出すのかわかりません
解説お願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

r^2n
でなく
r^{2n}
と書きます
(r^2)nと書くと(r^2)とnをかけたものになってしまうので
(r^2)n
でなく
(r^2)^n
と書きます
1+r^{2n}=1+(r^2)^n

(r^2)^n
はr^2のn乗といって(r^2)をn回かけたものだから

r=0の時
0を何回かけても0だから
1+r^{2n}=1+(r^2)^n=1+0=1

r^2=1の時
1を何回かけても1だから
1+r^{2n}=1+(r^2)^n=1+1=2

r^2>1の時
(
例えばr^2=2の場合r^{2n}=2^nはnが増えると
2,4,8,16,32,64,128,…と増えていくから
)
(r^2)-1=h
とすると
h>0
だから
(r^2)^n=(1+h)^n>1+nh>nh>0
だから
(r^2)^n>nh>0
だから
lim_{n→∞}(r^2)^n≧lim_{n→∞}nh=∞

0<r^2<1の時
(
例えばr^2=1/2の場合r^{2n}=(1/2)^nはnが増えると
1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,…と(分母が増えて)減っていくから
)
1/r^2>1
だから
(1/r^2)-1=h
とすると
h>0
だから
0<(r^2)^n=1/(1+h)^n<1/(1+nh)<1/(hn)
だから
0<(r^2)^n<1/(hn)
だから
0≦lim_{n→∞}(r^2)^n≦lim_{n→∞}1/(hn)=0

お礼

ありがとうございます。