お願いします。

質問

次の問題を教えてください。
相異なる実数x,y,zが次の条件をみたすとき、xyzのとり得る値の範囲をそれぞれ求めよ。
（１） x+y+z=1 , x^2+y^2+z^2=3
（２） x+y+z=1 , x^3+y^3+z^3=1

です。よろしくお願いします。

回答No.2

oodaiko · ベストアンサー

この問題に関する限りf'(X)は必要ありません。

f(X)=X^3-X^2+bX-b = (X-1)(X^2 + b)
と因数分解すると３次方程式f(X)＝0は1,±√-b
という解を持つことがわかります。
これらは実数でなくてはいけないので
まず第一に -b≧0 すなわち b≦0 であることが必要です。
さらにこれらの解はすべて異なっていなければいけないので
±√-b≠1 かつ +√-b≠-√-b
であることも必要です。
これでおわかりですね。

xyzに関する条件はbに関する条件とは符合が逆になることに注意しておいて下さい。

この問題はおそらく受験問題でしょうね。確かにこの手の問題では f'(X)を未知係数b
を入れたままの形で解いてそれをf(X)に代入し、極大値と極小値の符合が逆になる
ような条件を求めるのが一般的なパターンです。この問題でもその方法で解けない
ことはなさそうですが、そうとう面倒です。（再びbについての３次方程式に関する
条件を調べなくてはならない。）この問題のように元の式を直接因数分解
できるのなら直接的に解を求めてしまった方が早いです。

お礼

大変丁寧なご回答本当にありがとうございました。
そうですね。そのままで解いたら良かったのですね。
私の場合１つの解き方ばかりを考えてしまって、迷路にはまってしまう事が多いように感じます。ここが、得意な人との違いなんでしょうね。でも、こうやって具体的に問題を教えていただいていろいろな解きかたを覚えていきたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

oodaiko

考え方だけ
（１）
x^2+y^2+z^2 = ( x + y + z)^2 - 2 ( xy + yx + xz ) ……(1)
ですから
xy + yx + xz
の値はすぐ求まりますね

さてx,y,zを解とする３次方程式
X^3 + a X^2 + b X + c = 0 ………(2)
を考えると、解と係数の関係から
x+y+z = -a
xy + yx + xz = b
xyz = -c
です。
x+y+z と xy + yx + xz はすでにわかっているので
式(2)の係数で未知なのはcだけですね。
x,y,zは相異なる実数なので(2)は３つの異なる実数解を持つ必要があります。
そこで(2)が３つの異なる実数解を持つようなcの範囲を求めれば、xyzの取り得る
範囲もわかりますね。その方法はもうおなじみでしょうから省略します。

（２）
因数分解の公式
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = ( x + y + z )(x^2 + y^2 + z^2 -xy -yz -xz )
と上の(1)を利用すれば
xy + yx + xz と xyz の関係式が求まります
そこで上と同じようして、３次方程式(2)が３つの異なる実数解を持つよう
に未知の係数を決めてやります。

お礼

すみません。お礼の前に途中でつまずいてしまったのでお願いします。
（１）はスムーズに解くことが出来たのですが（２）でつまずきました。
といたところまでとりあえず書いてみます。
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)に
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)を代入すると、
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z){(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)}⇔
1-3xyz=1-{1^2-3(xy+yz+zx)}⇔
1-3xyz=1-3(xy+yz+zx)
xyz=xy+yz+zx・・・(1)
ここで　x^3+ax^2+bx+c=0・・・(2)とおくと
解と係数の関係より
x+y+z=-a よって a=-1
xy+yz+zx=b
xyz=-c (1)よりb=-c
(2)より　x^3-x^2+bx-b=0
この式が３つの異なる実数解を持てばいいので
f(x)=x^3-x^2+bx-b とおくと
f'(x)=3x^2-2x+b

ここからどうやって解けばいいかわかりません。
f'(x)を因数分解できれば自分でも解けると思うのですが
どこかやり方が間違っているのでしょうか？
よろしくお願いいたします。

補足

ご回答ありがとうございます。返事が遅くなってすみませんでした。出来るまでもう少し時間がかかりそうなのですが、出来次第ご報告します。