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三次方程式の問題です。
numa00の回答
- numa00
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いまざっと計算してみただけなので、計算間違いがあったらごめんなさい。ひょっとして、K=-1の一解だけでしょうか？ この3次方程式が上記の条件を満たす場合は、(1)この3次方程式のグラフが変曲点(この点が重解)でX軸と接した上、もう1点でX軸と交差する場合。(2)この3次方程式のグラフはひとつの変曲点しかなくて、この点でX軸と接する（交わる？)場合（3重解)。のいずれかと思います。 そうすると、この3次方程式をXに関して微分して、 3x^2+6(k-1)x-12k=0 ……（A) という2次方程式が実数解を持つことが求められます。 この2次方程式が二つの異なる実数解を持てば、そのうちのひとつが(本来の3次方程式の）重解となるでしょうし、この2次方程式がひとつの実数解（重解）を持てば、これが(本来の3次方程式の)3重解となると思います。 この2次方程式（A)を整理すると、 x^2+2(k-1)x-4k=0 x^2+2(k-1)x +(k-1)^2-(k-1)^2 -4k=0 {x+(k-1)}^2-(k^2-2k+1+4k)=0 {x+(k-1)}^2-(k^2+2k+1)=0 {x+(k-1)}^2-(k+1)^2=0 ……(B) この（B)が実数解を持つためには、頂点{-(k-1),(k+1)^2}がx軸上か、X軸より下方にあればよいことになります。すなわち、 (k+1)^2 <= 0 ……(c) を満たせばよいことになります。 このためには、k=-1 のただひとつが条件を満たすことになるかと思います。 どうでしょうか？
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補足
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