リミット、逆理の質問

質問

lim f(x)=f　{lim (x)}
x→a 　　　x→a
これが成り立たないf(x)をさがして、いかにも成り立つように逆理を使って証明せよ。
というレポートが出てしまったんですが、何かヒントとか教えていただけないでしょうか。この本に詳しい話が載ってるよ、とか。本当は回答を教えていただくのが一番なんですが。逆理とはいったい何なんでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

taropoo · ベストアンサー

逆理というのは逆説と同じ意味でいわゆるパラドックスです。
とある辞書によれば「相互に矛盾する命題がともに帰結し得ること。また、その命題。 」だそうです。

lim x = a
x→a

だから、上の式って

lim f(x) = f(a)
x→a

つまりf(x)がx=aで連続である事の定義ですよね。
だからx=aで連続な関数に関しては＝が成り立ち、x=aで不連続であれば≠となる。
それを、不連続なくせに＝が成り立つように一見みえる例を作ってやれば「不連続なのに連続」というパラドックスが作れるわけです。

例えば

f(x)=0 (x≠0), f(0) = 1

という関数を考えてみましょう。明らかにx=0で不連続ですよね。ところで

lim { lim f(x) - f(lim x) }　　　　…(i)
a→0　x→a　　　　x→a

と言う式を考えますと、a→0なのだから

(i) = lim f(x) - f(lim x)　　　　…(ii)
　　　x→0　　　　x→0

となります。一方、｛｝の中はx→aなのだから

(i) = lim { lim f(x) - f(a) }　　　　…(iii)
　　　a→0　x→a

f(x)はx≠0では連続なのでa≠0である任意の実数aについて

lim f(x) = f(a)　　　　…(iv)
x→a

が成り立ち、(iii)の値は0となる。ゆえに(i)=0であるから(ii)=0となり

lim f(x) = f(0)

よってf(x)はx=0で連続である。

これでパラドックスが出来ました。
ああそうかと納得してはいけません。パラドックスはだましの論理なのでどこかに必ずおかしな点が含まれています。
探してみてください。

補足

本当にありがとうございました。たいへん役に立ちました。で、今回のおかしな点を考えてみました。式（

回答No.2

taropoo

さて、実は私、自分で作ったパラドックスに自分ではまってしばらく悩みました（笑）。でもちゃんと分かりましたのでご心配なく。とはいえ、上手く説明できるかな…。

まず、
> 式（

お礼

わかりました。たいへんわかりやすく解説して頂いてありがとうございます。お恥ずかしいのですが本当に数学は苦手で…。僕は機械工学系の人間で、こういった数学の知識はあまりないんです。本当にどうもありがとうございました。大学でもこれぐらいわかりやすく解説してくれるとありがたいのですが。またいろいろ質問させていただくと思います（今度はレポートとかではなく）。その時はまたよろしくお願いします。ちゃんと毎日チェックしますので。ありがとうございました。