解説してほしいです。

質問

高校2年生です。数学の問題が分からないので、分かる方教えてください。解き方まで詳しく教えて頂けると有難いです。お手数ですが宜しくお願いします。

次の円と直線の共有点の座標を求めなさい。

回答No.3

noname#227255

円と直線の方程式を連立させて解くのが定石だとは思いますが、これらの問題では、グラフを描けば明らかです。

(1)
半径√2の円の中心は原点Oであり、傾き-1の直線は原点Oを通るので、共有点の座標は次のようになります。
（円の中心は原点Oであり、直線は原点Oを通るので、必然的に共有点をもちます。）
(√2cos135°,√2sin135°)=(-1,1)
(√2cos315°,√2sin315°)=(1,-1)
もっと簡単に考えると、1番目の共有点を原点Oに関して対称移動したものが2番目の共有点になるので、2番目の共有点はx座標とy座標の符号が変わるだけです。

(2)
半径√18=3√2の円の中心は原点Oであり、傾き1の直線は原点Oを通るので、共有点の座標は次のようになります。
（同上）
(3√2cos45°,3√2sin45°)=(3,3)
(3√2cos225°,3√2sin225°)=(-3,-3)
(1)と同様に、1番目の共有点を原点Oに関して対称移動したものが2番目の共有点になるので、2番目の共有点はx座標とy座標の符号が変わるだけです。

(3)
グラフを描けば、簡単に答えが出ます。
中心が原点Oで半径√4=2の円：x^2+y^2=4と直線：y=-x+2の共有点の座標は、(2,0)と(0,2)になります。

※
数式を用いて解くだけが数学ではありません。
グラフの性質を大いに利用しましょう。

回答No.2

asuncion

ちょっとだけ補足します。
先の回答では、xに関する2次方程式を解くと必ず2つの解がありました。
これが、重解を持つ場合、円と直線は接することになります。
また、判別式が負になる場合、円と直線は共有点を持ちません。

回答No.1

asuncion

(1)
x^2 + y^2 = 2 ... (1)
y = -x ... (2)
(2)を(1)に代入する。
2x^2 = 2, x^2 = 1, x = ±1
(2)に代入して、y = マイナスプラス1
∴共有点は(1, -1), (-1, 1)

(2)
x^2 + y^2 = 18 ... (1)
y = x ... (2)
(2)を(1)に代入する。
2x^2 = 18, x^2 = 9, x = ±3
(2)に代入して、y = ±3
∴共有点は(3, 3), (-3, -3)

(3)
x^2 + y^2 = 4 ... (1)
y = -x + 2 ... (2)
(2)を(1)に代入する。
2x^2 - 4x + 4 = 4
x^2 - 2x = 0
x(x - 2) = 0
x = 0, 2
(2)に代入して、y = 2, 0
∴共有点は(0, 2), (2, 0)