Cauchyの積分公式の証明過程の謎！

質問

∲{f(ζ)/(ζ－z)}dζ＝2πif(z)の証明過程において、

ζ＝z+rexp(iθ)
と変数変換

dζ＝irexp(iθ)dθ

（積分区間０→２πに変換）
LHS＝∫{f(z+rexp(iθ))/rexp(iθ)}irexp(iθ)dθ
　　＝i∫f(z+rexp(iθ))dθ

謎は、ここからです！
なぜ、ここで、lim[ｒ→０]とするのでしょうか？

もちろん、そうすれば証明が完了するということはわかります。
しかし、私には、このlim[ｒ→０]によって、この証明が必要十分性を具備しなくなるような気がしてならないのです。

この怪しげなｒ→０によって、めでたく（以下証明のつづき）
　　＝i∫f(z)dθ
となり、
　　＝if(z)∫dθ
　　＝RHS

Q.E.D.

回答No.5

ddtddtddt · ベストアンサー

#3です。

＞ただ、「十分性については、扱っているのが等式なので、必要性が成り立てば十分性は自動成立です。」のところの論理がイマイチよくわかりません。

・・・についての話です。質問文に必要十分という言葉が載っていたので、いちおうコメントしただけで、あんまり気にしないで下さいね(^^)。

　添付図のようにz＝x＋iyとし（xとyは実数，iは虚数単位）、複素関数w(z)を実2変数関数f(x，y)とg(x，y)とで、w(z)＝f(x，y)＋ig(x，y)と表す事にします。

　dw/dzを計算するために、少々いい加減ですが、w(z)とzの全微分を取ります（添付図(1)）。分母を実数化するために分子分母にx－iyをかけ（(2)）、枠内で囲った関係に注意すれば(3)が得られます。

　予想通り複素微分は、とりあえず極限を取る方向θに方向依存です。しかし「複素微分は方向によらない」が定義なので、(3)はθ依存では駄目です。そこで「(3)をθで微分して0とおく」という手も考えられますが、面倒そうなのでz＝x（θ＝0）とz＝iy（θ＝π/2）という特殊な2ケースを考えます。それが添付図の(4)と(5)です。

　(4)と(5)に、複素微分の定義から得られる条件(6)を連立させると、明らかに(7)が成り立つ必要があります。すなわちコーシー・リーマン条件は、複素微分が成立するための必要条件です。

　ただこの場合(7)は、「z＝x（θ＝0）とz＝iy（θ＝π/2）という特殊な2ケース」を使ったから得られただけなのかも知れず、斜めから近づいたら別の結果が出たり、事によったら「任意のθに対して成立するような、複素微分なんか不可能だ！」という結果が出る可能性だって否定はできません。さらに「複素微分の結果は方向によらない値になる」と言いながら、その「具体的な値」も与えていません。

　よって、「逆に(7)が成り立つなら、(7)を(3)に代入したら(8)になる」という十分性の計算が必須になる訳です。

　Cauchyの積分公式の場合は、積分路を上手く変形してやる事で、

　　・∲{f(ζ)/(ζ－z)}dζ＝2πif(z)　でなければならない．

という必要条件が最初から得られてしまいます。∲{f(ζ)/(ζ－z)}dζの値は存在するし、しかもその値は一意に具体的に決まります。だったら、

　　・逆に、∲{f(ζ)/(ζ－z)}dζ＝2πif(z)　⇒　∲{f(ζ)/(ζ－z)}dζ＝2πif(z)．

とやるのは、アホらしいよね？という話でした。あんまり気にしないで下さい(^^)。

　余談ですがGreenの定理をご存知なら、任意の複素線積分は(x，y)に関する面積分に直せる事はわかりますよね？。そうやって∲{1/(ζ－z)}dζを見直してみると、これがζ＝zに特異点を持つデルタ関数δ(z)の積分になっているのわかります。ラプラス方程式の基本解あたりで検索すれば、すぐ納得できるはずです。そうすると、

　　∲{f(ζ)/(ζ－z)}dζ＝2πif(z)

は、ある意味当然の結果という事になります(^^)。

お礼

ラプラス方程式？？？　
数学の世界って奥が深そうですね！
なんだかワクワクしてきました！

ありがとうございますe^π^i

回答No.4

jcpmutura

lim[r→0]i∫[0～2π]f(z+rexp(iθ))dθ=i∫[0～2π]f(z)dθ
は
rを0に近づけたら左辺が右辺になったという直感的な(論理的に)曖昧なものではなく

任意のε>0に対して
あるδがあって
|r|<δ
となる任意のrに対して
|i∫[0～2π]f(z+rexp(iθ))dθ-i∫[0～2π]f(z)dθ|<ε
となる時
lim[r→0]i∫[0～2π]f(z+rexp(iθ))dθ=i∫[0～2π]f(z)dθ
と定義するのです

だから

lim[r→0]i∫[0～2π]f(z+rexp(iθ))dθ=i∫[0～2π]f(z)dθ
を示すためには

任意のε>0に対して
あるδがあって
|r|<δ
となる任意のrに対して
|i∫[0～2π]f(z+rexp(iθ))dθ-i∫[0～2π]f(z)dθ|<ε
を示さなければなりません

お礼

ありがとう

補足

ε-δ論法？

回答No.3

ddtddtddt

#1です。

　特異点ζ＝zを内点として含む、任意の閉曲線C0をとります（添付図）。C0に囲まれる領域をR0とします。

　ζ＝zを中心に半径rの円を描き、それをC1とします。C1を境界とする領域をR2とし、R0からR2を除いた領域をR1とします。もちろんR1の外境界はC0，内境界はC1です。

　R1の境界C0とC1上の線積分を考えた場合、積分方向はC0上で左回り、C1上で右回りになるので、R1で積分を考えるときは、積分路の方向まで含めてC1をC11と書きます。同様にR2で積分を考えるときは（左回り）、C12と書いて区別します。

　C11とC12は同一曲線で積分方向だけが違うので、線積分の一般的性質から足せば0です。従って、添付図の式の上段が成り立ちます。ところでC0とC11の積分結果を合わせたものは、R1での積分になっていますが、R1は特異点を含む領域R2をR0から除いたものなので、R1で被積分関数は正則。よってC0とC11の積分結果を合わせた結果は0で、下段1項目になります。

　ここまで話には、どこにもC12の半径rに関する制限はありませんでした。という事は、C12がR0を飛び出さない限り、任意のrで成り立つ必要があります。だとしたら、

　　・C0上の積分値は、C12がr→0の極限の時の値に「等しくなる必要がある」．

が、証明の道筋です。十分性については、扱っているのが等式なので、必要性が成り立てば十分性は自動成立です。

　憶測ですが、線積分の値は積分路の形状に依存するのが自然だから（一般的にはそうです）、「∲{f(ζ)/(ζ－z)}dζ＝2πif(z)」と結果が積分路の形に無関係になるのは、r→0という特殊なケースの計算を持ち込んだからだ、と疑っているのかな？と思いました。

　そこがコーシー・リーマン条件の強力さです(^^)。

お礼

はー！　そういうことだったんですね！！
ありがとうございます！

添付図の式の最後の「＝」（2行目）の謎が氷解しました。
コーシー・リーマンの関係式の妙ですね。ちょっと感動しましたよ！

唐突に「r→0という特殊なケースの計算を持ち込」むことに困惑していたことに加え、ご指摘の通り、そのように疑っていました。

ただ、「十分性については、扱っているのが等式なので、必要性が成り立てば十分性は自動成立です。」のところの論理がイマイチよくわかりません。

例えば、コーシー・リーマンの関係式を導くときに、Δｚ→０を「Δｘ＝０」と「Δｙ＝０」で場合分けして導く場合には、必要十分性を具備しませんよね？（Δｚ＝Δｘ＋iΔｙですから、斜め方向からの接近の場合は？）

回答No.2

jcpmutura

Cr:ζ＝z+re^{iθ},(0≦θ≦2π)
の時
∫_{Cr}f(ζ)/(ζ-z)}dζ≠2πif(z)
と仮定すると
|∫_{Cr}f(ζ)/(ζ-z)}dζ-2πif(z)|>0
だから
|∫_{Cr}f(ζ)/(ζ-z)}dζ-2πif(z)|>ε>0…(1)
となる正数ε>0がある
f(λ)は正則で連続だから
このε/(2π)>0に対して
あるδ>0があって
|λ-z|<δとなる任意のλに対して|f(λ)-f(z)|<ε/(2π)
となるから
λ=z+re^{iθ}
|r|<δ
とすると
|λ-z|=|r|<δ
だから
|f(λ)-f(z)|<ε/(2π)
↓λ=z+re^{iθ}だから
|f(z+re^{iθ})-f(z)|<ε/(2π)
だから
|∫_{Cr}f(ζ)/(ζ-z)}dζ-2πif(z)|
=|∫_{0～2π}[f(z+re^{iθ})/re^{iθ}]ire^{iθ}dθ-2πif(z)|
=|i∫_{0～2π}f(z+re^{iθ})dθ-i∫_{0～2π}f(z)dθ|
=|i∫_{0～2π}{f(z+re^{iθ})-f(z)}dθ|
≦∫_{0～2π}|f(z+re^{iθ})-f(z)|dθ
<∫_{0～2π}{ε/(2π)}dθ
=ε
となって(1)と矛盾するから
∫_{Cr}f(ζ)/(ζ-z)}dζ=2πif(z)

お礼

イプシロンデルタ論法ですか？？？

補足

イプシロン・デルタ論法？

回答No.1

ddtddtddt

「正則な複素関数の任意の閉曲線上での積分は、0」ってのはご存知ですか？。f(ζ)を正則とすると、f(ζ)/(ζ－z)はζ＝z以外では正則です。そうすると積分路を工夫して、ζ＝zを迂回するように最初の積分路を分割してやると、ζ＝zを囲まない部分の結果は0になるので、ζ＝zを囲む任意に小さくできる円上だけで計算すれば良い、という証明ができます。

　その証明を見たとき自分は、コーシーはものすごいハイカラさんだと思いました(^^)。

お礼

ありがとうございます！！

補足

「正則な複素関数の任意の閉曲線上での積分は、0」ってのは知ってます。
コーシー・リーマンの関係式およびGreenの定理からの帰結ですよね？

「任意に小さくできる円」は、必ずしも「限りなく小さな円」とは限らず、中途半端な大きさの”時”もあるのではないのかな、というのが私の疑問なんです。