次の熱物理の問題の解答解説をお願いします。

質問

ファンデルワールスの気体の体積をV1からV2まで等温膨張させるときに外から入る熱量は?
ただし(∂U/∂V)T = T (∂S/∂V)T -pの関係を用いよ。

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

ΔU=Q+Wであり、
Q=ΔU-W...(i)
です。W(仕事)はもらう方向をプラスに考えるのでW=-∫PdVです。
さて、T, Vを独立変数としてdUを書くならば
dU=(∂U/∂T)_vdT+(∂U/∂V)_tdV...(ii)
です。これの等温過程での積分を考えると(ii)の第一項の積分は消えて
ΔU=∫dU=∫(∂U/∂V)_tdV=∫[T(∂S/∂V)_t-P]dV...(iii)
となります。ここでMaxwellの関係を使えば(∂S/∂V)_t=(∂P/∂T)_vですから
ΔU=∫[T(∂P/∂T)_v-P]dV=T∫(∂P/∂T)_vdV-∫PdV...(iv)
となります。等温過程でT一定なので積分の外に出します。(iv)を(i)にいれますが、この時W=-∫PdVをつかいます。すると
Q=ΔU-W=T∫(∂P/∂T)_vdV-∫PdV+∫PdV=T∫(∂P/∂T)_vdV...(v)
を得ます。ここまではvan der Waals気体であることをつかっていませんが、ここでvan der Waals式を使います。即ちP=RT/(V-b)-a/V^2ですから
(∂P/∂T)_t=R/(V-b)...(vi)
です。これを(v)に代入すると
Q=T∫[R/(V-b)]dV=RTln{(V2-b)/(V1-b)}
となります。これが求めるものです。

お礼

丁寧に回答ありがとうございました。