• 締切済み

(a×b)×c

a,b,cをV^3のベクトルとします。 (a×b)×c + (b×c)×a + (c×a)×b = 0    …(i) これは (a×b)×c = -(b,c)a + (a,c)b    …(ii) を先に証明してこれを使う事で証明できる事は分かりました。 ところで(a×b)×cって何ですか? ((a×b),c)だったらベクトルa,b,cの張る6面体の体積(符号付)ですよね。 でも(a×b)×cって?。対称な3つのベクトルを足し合わせると0ベクトルになってしまう。((i)の事です。) (ii)からa,bの張る平面上のベクトルである事は分かるのですが、 何だか分かったようですっきりしない。 (a×b)×c って幾何学的に何か意味あるんでしょうか?

みんなの回答

noname#598
noname#598
回答No.2

(a×b)×c 単独の幾何学的意味はtaropooさん自身がお書きになったことでしょう。 物理学的にはローレンツ力というのがキーワードになりそうです。 安直ですが、フレミングなのかな~なんてのも考え中。 物理のぶの字も分かってないので無責任すぎますが。。。。 あと、(i)から想像するに・・・・ 3つのベクトルが e+f+g=0 を満たすってことは、3つのベクトルe,f,gは同一平面上・・・・ さらに、OE,OF,OGの長さを3辺とする三角形が作れる・・・ こんなもんでしょうか。

taropoo
質問者

お礼

> (a×b)×c 単独の幾何学的意味はtaropooさん自身がお書きになったことでしょう。 との事ですが > aとbに垂直なベクトルとcと垂直なベクトル、それでいてa,bの張る平面上にある…。 って冗長でしたね。 「a,bの張る平面上にあってcと垂直なベクトル」 ですね。 でもそれだけじゃ物足りないんですよ。長さがa,b,cの張る平行六面体の体積(違いますけどね、例えばの話)とか。 > 3つのベクトルが > e+f+g=0 > を満たすってことは、3つのベクトルe,f,gは同一平面上・・・・ これ、ナイスです。しかもただ同一平面上じゃなく、原点を通る平面上。 あとはそれがどんな法線ベクトルを持った平面なのかが問題ですね。

taropoo
質問者

補足

(a×b)×c、(b×c)×a、(c×a)×bの乗る平面の法線ベクトルを力ずくで解きました。 結果は全くシンプルなものではありませんでした。以下に結果を載せます。 法線ベクトルをdとすると、a,b,cは線形独立だからこれらを用いて d=pa+qb+rc (p,q,rは実数) と表せて、 p = (b,c)(a,a) - (c,a)(a,b) q = (c,a)(b,b) - (a,b)(b,c) q = (a,b)(c,c) - (b,c)(c,a) でした。 もっとシンプルな p = q = r とか、p = 1 / (a,a), q = 1 / (b,b), r = 1 / (c,c)とかを期待していたのですが。 以上ご報告まで。

  • quotani
  • ベストアンサー率28% (2/7)
回答No.1

(a×b)はベクトルaとベクトルbに垂直なベクトル。 そのベクトルとベクトルcに垂直なベクトルが(a×b)×cではないでしょうか。

taropoo
質問者

お礼

う~ん、それはそうなんですけど、 aとbに垂直なベクトルとcと垂直なベクトル、それでいてa,bの張る平面状にある…。 それを対称な3つを足すと何故0ベクトルになるのか、そこがすっきりしないんですよね。

関連するQ&A

  • b×cの方向がA'の方向でないのはなぜですか

     問題 三つのベクトルa,b,cを相隣る三稜とする平行六面体の体積は V=a・(b×c)=b・(c×a)=c・(a×b) で与えられることを証明しなさい。 この解答として、添付図が用いられています。 解答の中で、b×cはA'の位置ではないのでしょうか。 なぜ添付図の位置なのですか。 解説を宜しくお願いいたします。

  • (A×B)・C=(B×C)・Aの証明(ベクトル)

    (A×B)・C=(B×C)・Aの証明(ベクトル) A、B、Cをベクトルとします。 (A×B)・C=(B×C)・Aを証明したいのですが、 どのように証明すればよいのでしょうか。 調べてみると、行列式を用いた方法があったのですが、 行列式のベクトル計算は習っていないのでそれ以外でお願いします。 よろしくお願いします。

  • 空間図形の問題です

    四面体OABCがあって、OA=OB=OC=3,AB=BC=CA=2とする。A(↑a),B(↑b),C(↑c)とする。 平面OBCに関してAと対称な点をDとすると、 ↑ODは正射影ベクトルの考え方など駆使して -a+7/5(b+c) と表せることがわかりました(すみません、ベクトルの矢印は省略しました)。 そして、その次の小問が分かりません。 平面OCDに関してBと対称な点をEとするとき、四面体EABCと体積は四面体OABCの体積の比を求めよ。 という問題です。 回答よろしくお願いします……

  • (a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b)の基本対称式での表し方

    対称式 (a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b)=a^n+a^(n-1)b+…+ab^(n-1)+b^n を基本対称式a+bとabを用いて表すことを考えました。 色々と実験してみたところ Σ{i=0 to n/2}(-1)^iC(n-i,i)(ab)^i(a+b)^(n-2i) という形で表されるらしいことが分かりました。 ここで、C(n-i,i)は二項係数です。 しかし、どうにも証明ができません。 どなたが、証明の方法をご教授頂ければ幸いです。

  • A・B=B・AならばAの固有ベクトルはBの固有ベクトルである

    A,Bをそれぞれn次正方行列とする 命題1: 「A・B=B・AのときAの固有ベクトルはBの固有ベクトルである」 これは反証がすぐに得られるので偽である 命題2: 「A・B=B・AでありAの任意の固有値に対する固有ベクトル空間が1次元のときAの固有ベクトルはBの固有ベクトルである」 kony0氏の証明より vをAの固有ベクトルとしたときaを適当な複素数としてA・v=a・v 一方A・(B・v)=(A・B)・v=B・(A・v)=B・(a・v)=a・(B・v) 従ってB・vはAの固有値aの1次元固有ベクトル空間に含まれるから 適当な複素数bが存在してB・v=b・v 命題1に代わる真の命題があれば証明付きで教えてください

  • ベクトルA,B,C A×(B×C)=z(BA・C-CA・B)

    「ベクトルA,B,C A×(B×C)=z(BA・C-CA・B)この式では、A,B,Cに関して 線形だからzはこれらの大きさに依らない。」 ってどいうことなのかわかりません。特に線形が何を意味するのか。 解かる方教えて下さい。

  • 符号付体積?

    三行一列のベクトルA,B,Cがつくる符号付体積が三行三列の行列式|ABC|であると教えられましたが符号の意味がはっきりしません。だれかわかりやすく教えてください。お願いします。

  • 三つのベクトルa→、b→、c→の間にb→・c→=c→・a→=a→・b→=-1

    三つのベクトルa→、b→、c→の間にb→・c→=c→・a→=a→・b→=-1 a→+b→+c→=0→なる関係があるとき、 a→、b→のなす角Θを求めよ。 この問題わかりませんでした。 解らないところは、この題意を読んでいて b→・c→=c→・a→=a→・b→=-1 (A) a→+b→+c→=0→  (B) 上の二つの式の意味です。 たぶん、この二つの関係をもちいて、なんとかして、a,bのなす角を求めるとおもうのですが、 それには、内積の公式を利用すると考えましたが。。 (cosΘ=a・b / |a||b|) a・bの値と |a||b|の値を題意から、どのように考えて、導き出すかわかりませんでした。。。 どなたか、この問題教えてください>_< 宜しくお願いします!!

  • 高校数学「I・II・III」と「A・B・C」はどう違うんですか?

    高校の数学には「I・II・III」と「A・B・C」があります。 それぞれが各学年に対応しているようです。 私が高校生だった15年ぐらい前はこういう分類ではなく、「数学I・基礎解析・ 代数幾何・微分積分・確率統計」だったと記憶しているんですが… 書店の参考書の棚を見ると、「IA」「IIB」「IIIC」等がありました。 内容はどう違うんでしょうか? そして、どうして「I・II・III」と「A・B・C」のように、2種類の教科書が 存在するのでしょうか?

  • 1/(b+c-a)+1/(c+a-b)+…

    a,b,cを三角形の3辺の長さとすれば、 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) + 1/(a+b-c)≧9/(a+b+c) の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。