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数学的帰納法についておしえてください

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a,bを1より大きい整数を表すものとするとき、a^3b-ab^3は6の倍数である
 証明を教えてください。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 33% (34/103)

siegmundさんのおっしゃる通り、帰納法で示すような問題ではない気がします。
ただ、敢えてやるならばという解答例を載せておきます。

i) a=b=2のとき
a^3b - b^3a = 2^3*2 - 2^3*2 = 0 = 6 * 0
よって6の倍数である。

ii)a=n, b=mで成り立っていたと仮定する。即ち
n^3m - m^3n = 6k    (kは整数)    …(1)
とする。この時a=n+1, b=mでも成り立つ事を示す。
(n+1)^3m - m^3(n+1)
= (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)m - m^3(n + 1)
= n^3m + 3n^2m + 3nm + m - m^3n - m^3
= (n^3m - m^3n) + (3n^2m + 3nm) + (m - m^3)
= 6k + 3mn(n+1) + (m-1)m(m+1)
第2項は3の倍数であり、nとn+1のどちらかが2の倍数だから6の倍数、
また、第3項は3つの連続する整数だから少なくとも1つは3の倍数、かつmとm+1のどちらがが2の倍数だから6の倍数。
ゆえにa=n+1, b=mのときにも成立する。

iii)(同様の方法でa=n, b=mで成り立っていた時にa=n, b=m+1でも成り立つ事を示す。)

以上によりa>=2, b>=2である任意の整数a, bについてa^3b - b^3aが6の倍数である事が示された。


解答例としてはこんな感じですが。
帰納法のメリットとしては場合分けが必要ない事くらいですかね?
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その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

数学的帰納法とは無関係でしょう. 因数分解して ab(a+b)(a-b) で,これが2の倍数かつ3の倍数 であることを示せばよい. (i) 2の倍数 a,b どちらか偶数ならそれで終わり. どっちも奇数なら a+b も a-b も偶数 (ii) 3の倍数 a,b どちらか3の倍数ならそれで終わり. どっちも3の倍数でないときは,a,b とも 3n±1 の形(複号任意). 可能 ...続きを読む
数学的帰納法とは無関係でしょう.

因数分解して ab(a+b)(a-b) で,これが2の倍数かつ3の倍数
であることを示せばよい.

(i) 2の倍数
a,b どちらか偶数ならそれで終わり.
どっちも奇数なら a+b も a-b も偶数

(ii) 3の倍数
a,b どちらか3の倍数ならそれで終わり.
どっちも3の倍数でないときは,a,b とも 3n±1 の形(複号任意).
可能性は4通りあるが,いずれも a+b あるいは a-b が3の倍数になるのは
簡単に示せる.

あとの詰めはご自分でどうぞ.


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