- ベストアンサー
トポロジーの問題での質問・・・・・
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
まずkyoto2001さんの回答ですが、論旨が不明瞭な部分と推論の誤りがあり、 失礼ですが証明になっていません。 球面に北極と南極を決め、（決め方はkyoto2001さんの回答の（１）のように選びます。） 中心から赤道上の適当な点に引いた半直線をx軸とし、球面上の各点を赤道面上でのx軸に 対する方位角θ（つまり’経度’です）と赤道面面からの仰角ξ（’緯度’に相当します） で現すことにします。 （１）（３）の推論はＯＫですが、 ＞（２）北極と南極をふくむ大円の列を考える。 ＞（４）大円の列でその様な二点を選ぶことにより球面上に連続な閉曲線がかける。 とありますが、列は普通可算個の要素を考えるのでその上にどんな関数を考えても （列の位相は要素間の距離で考える）連続関数になってしまいます。 つまり’列’のような離散的なものを考えたのでは「球面上に連続な閉曲線がかける」とは 言いきれません。 もとの関数が連続だから適当な点列上で考えても自然に補間されて連続関数になるだろうと 考えられたのかも知れませんが、それをいうためにはきちんとした吟味が必要です。 で、kyoto2001さんが（４）の前半でおっしゃりたいことは、感覚的にいえば 一つの大円Ｏを選び、（３）の条件を満たすような対心点の組（p,p*)を選ぶ。 Ｏの「近くの」大円Ｏ'を考えるとＯ'上で（３）の条件を満たすような対心点の組（p',p'*) であって（p,p*)の「近くに」あるものを選べるはずだ。だからpとp'およびp*とp'*を結ぶ 連続曲線の組であって、そのすべての点で（３）の条件を満たすようなものが取れるだろう。 ということだと思いますが、これは間違いです。 例えばある大円Ｏを考えた時、選んだ対心点の片方pが、球面上におけるpを含むある近傍Ｕ(p) において最大値を取るただ一つの点であり、もう片方p*がそのある近傍Ｖ(p*)における最小値 を取るただ一つの点である場合を考えて下さい。 このときＵ(p)\p の任意の点における値はＶ(p*)\p*のすべての点の値より小さくなるので、 少なくともＯの「近くの」大円Ｏ'（きちんと書けば Ｏ'∩Ｕ(p) ≠ φまたはＯ'∩Ｖ(p*)≠φ となるような大円）においては、条件を満たすような対心点を（Ｕ(p)\p,Ｖ(p*)\p*）から選ぶ ことはできません。すなわち(p,p*)点から出発した場合、連続な曲線は描けません。 ＞（４）この閉曲線は必ず赤道を通過することに注意する。 これも誤りです。上で述べたように、そういう閉曲線が書けるということ自体、 簡単にいえませんが、閉曲線が書けたとしてもその閉曲線が赤道と交わるとは限りません。 例えば 今南北のある同緯度の緯線上（つまりξ＝Ｃおよびξ＝－Ｃと現される閉曲線の上）で 連続関数が一定値をとるとしましょう。 明らかに任意のθに対して（θ,Ｃ）と（θ＋π,－Ｃ）は（３）の条件を満たす対心点です。 この点の組を連続になるようにとっていく、つまりθを０から２πまで動かしても できた閉曲線はもちろん赤道とは交差しません。 --------------------------------------------------------------------- さて質問の方に戻りますが、ボルスークの定理とは （ボルスーク（Borsuk）の対心点定理） 定理： 球面Ｓから平面Ｒ^2への任意の連続写像ｆに対して、 一対の対心点ｐ、ｐ*∈Ｓでｆ(p)=ｆ(p*)となるものが存在する。 のことですね？ ＞いきなりボルスークの定理を使って良いのでしょうか？ とはどういう意味でしょう。 問題において （１）地球の表面を完全な球面Ｓとする。 （２）地球上の点ｐでの温度と気圧は両方とも点pの連続関数とする。 という２つの条件（つまりただし書きに書いてあること）を仮定すれば、ボルスークの定理 を使えるはずです（というよりボルスークの定理ほとんどそのままですね）。 それとも物理的に（１）（２）のように仮定してしまって良いのだろうか？ と言う疑問ですか？ たしかにどちらの仮定も地球物理に詳しい人から文句が出そうですが、これは数学の問題 なので構わないでしょう。 kyoto2001さんのような方法でも証明はできるかも知れないが、その方法でやろうとすると 上で書いたようにかなり細かい（しかも面倒な）吟味が必要になります。 ボルスークの定理を（その証明も含めて）理解されているのなら、そちらを使った方が 早いでしょう。
その他の回答 (1)
- kyoto2001
- ベストアンサー率33% (3/9)
（１）条件を満たさない点の対をえらび北極と南極と呼ぶことにする。 （２）北極と南極をふくむ大円の列を考える。 （３）円周上の連続関数は必ず対心点で互いに同じ値をとる二点を少なくともひと組持つことに注意する。 （４）（２）で考えた大円の列でその様な二点を選ぶことにより球面上に連続な 閉曲線がかける。この閉曲線は必ず赤道を通過することに注意する。 （５）温度と気圧に関して、この赤道を通過する閉曲線を書けば必ず交わる。 （６）その交点がP,P*です。
関連するQ&A
- 関数の連続ε-δ論法
こんにちは。関数の連続性についての質問です。 定義を 「関数fが、実数のドメインD とレンジRを持ち ∀ε＞0 ,∃δ＞0 st｜f(x)-f(p)｜<ε whenever｜x-p｜<δ を満たすとき点p∈Dにおいてε-δの性質をもつ」 とする時、 定理１．ｆがε-δの性質をもつとき、ｆは点ｐに置いて連続である この定理の証明をしたいのですが、この定義はそのまま極限の定義 lim(x→p)f(x)=f(p); ∀ε＞0, ∃δ＞0,∀x∈S: 0<｜x-p｜<δ⇒｜f(x)-f(p)｜<ε の様な気がするのですが、この定理は証明可能なのでしょうか？ よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式の偏微分問題について
微分方程式の偏微分問題について 大学で微分方程式の授業を履修しているのですが、指定された問題がまったくわかりません 問u0>0,p>1とする。次の1階単独ODEの初期値問題について、(u0の0は小文字でユーゼロです) du/dt=u^p (t>0) u(0)=u0 u(t)が発散する時刻をTmaxとするとき、解u=u(t) (0<t<Tmax)を求めよ という問題です。 偏微分の計算の説明を少しされただけなので、このような文章問題はどうすればいいのかまったくわかりません。 一応この問題の前に 『1階単独ODEの初期値問題と局所解の一意存在定理』 2変数関数f(x,y)は点(x0,y0)の近くで偏微分できて、さらにその偏導関数fx(x,y),fy(x,y)は連続とする（これは短く「点(x0,y0)の近くで連続微分可能である」という）。そのとき、次の1階単独ODE y´=f(x,y), (y=y(x);unknown) について、y(x0)=y0をみたす解がx=x0の近くでただ1つ存在する という定理が書いてありましたが、説明されていないので自分で読むだけではまったく理解できませんでした。 明日までなので焦っています。 どなたか問題を解いて下さる方はいらっしゃいませんでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 地球の温度上昇について
よく、地球の表面温度が上昇という言葉を聞きますが、表面温度とは具体的にはどういうことですか（どのあたりの温度かなど）。 また、地球の「表面温度」の上昇率と、地球の「気温」の上昇率は一致するのですか？それともやはり、それは一致はしないで比例するのでしょうか。それとも比例もしないのでしょうか。 教えてください。
- ベストアンサー
- 環境学・生態学
- 大学の微分積分についての問題です！！
大学の微分積分についての問題です！！ (x,y,z)-空間R^3内の半径aの球面S上の極座標を x = asin(φ)cos(θ) y = asin(φ)sin(θ) z = acos(φ) 0≦φ≦π 0≦θ≦2π とする。 球面S上の点P=X(ベクトル）(φ,θ) 接ベクトルの基底、法ベクトル、微小面積要素などを求める。 （１）φ=constなる直線の像となるS上の曲線（緯度）に点Pで接する接ベクトル Xθ(P)=X_θ(P)=( ？ ) ←※1行3列 ※X_θは偏微分のこと 同じくθ＝constなる直線の像となるS上の曲線（緯度）に点Pで接する接ベクトル Xφ(P)=X_φ(P)=( ？ ) （２）法ベクトル n(P)=xθ(P)×xφ（P)＝（ ？ ) （３）球面Sの点Pでの微小面積要素、つまり接ベクトルXθ（P)Δθと接ベクトルXφ（P)Δφがつくる 平行四辺形の面積Δσは、（ ？ ）ΔθΔφ （４）パラメータ（θ、φ）が領域G={0≦φ≦π/3,0≦θ≦2πを動く時の 球面Sの部分領域{X(φ,θ)；（φ,θ)∈G}⊂Sの曲面積は、S=（ ？ ） どうかお願いします！！答えだけでなく計算過程もお願いします！！ できない場合はできるとこだけでもお願いします！！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 剰余の定理を使った問題について
数学の剰余の定理の質問です。 よろしくお願いします。 「ある整式Ａをx-5で割ると、商がx-4で余りはＲになる。また、Ａをx+3で割ると、商がＱで余りは25になる。このとき余りＲ、商Ｑ、お よび整式Ａを求めよ」 という問題です。 別の質問サイトで、Ｐ(－３）＝２５をＲの入っている式に代入するやり方を教えて頂いたのですが、答えと一致しませんでした・・・。 ちなみに、答えは「Ｒ：43、Ｑ：x-6、Ａ：x2-9x＋43」です。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二次方程式の問題です。
Ｘの二次方程式ｘ＾２－ｐｘ＋ｐ＋１５＝０が解を一つしか持たないとき、ｐの値をすべて求めなさい。 という問題です。よろしくお願いします。 あと、5日にテストがあって、それが結構難しくて、二次関数、二次方程式、展開、円、共円、ピタゴラスの定理、立体図形など様々な範囲で問題が出ます。 それで、なんかここは抑えておいたほうがいいっていうことあったらそれも教えてください。ほんとにお願いします！！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- レポート問題ですが、わかりません・・・
太陽の表面温度Taを6000Kとして、地球の表面温度Tｐを推定せよ。ただし太陽の半径Ra、地球の半径をRpとすると、Ra/Rｐ=4.65×10＾－3である。 という問題です。 どうかお願いします。
- 締切済み
- 物理学
