数学の証明の考え方について

質問

A=B　を証明せよ、という問題がありました。数学的な説明の流れでいうと、A→Bという方向です。すなわち、Aが成り立つのであれば、Bも成り立つということを言いたいために証明するわけです。この証明ですが、Bが成り立つとしてAを導くということになっています。
なので、何かのどに小骨が引っかかったような違和感があります。がんばればAからBが証明できるものでしょうか。当然そうなるはずなのですが。B→Aの証明のプロセスはいくつかの段階があり、その段階ごとに逆をたどればA→Bになるかなあとは思うのですが。たぶん別ルートになると思います。
難しい問題ではないのでたぶんあるんだろうなとは思いますし、できそうな心当たりもありますが。

回答No.5

ddtddtddt

#4です。添付図を送付します(^^;)。

お礼

たいへん多くの情報を頂きまして有難うございます。特異点（円筒座標の中心とか球面座標の両極）において、定義しなおせばいいというのは、数学上の処理というよりも、例えば数値シミュレーションをやる場合のアルゴリズム上の処理ということになるでしょうか。
数学的に等価か？という点において気になるような気がしますが。

回答No.4

ddtddtddt

#3です。

＞・・・r, θをx, yで偏微分するのが面倒ですね。ヤコビアンとか出てきてそれがゼロでないという前提の下で処理を進めるだろうなとは思いますが。

　まず∂r/∂x，∂θ/∂x，∂r/∂y，∂θ/∂yを陽に求める手はありますよね？。
　　x＝rcosθ　　　(1)
　　y＝rsinθ　　　(2)
ですから明らかに、
　　r＝(x^2＋y^2)^(1/2)　　　(3)
　　θ＝Atan(y/x)　　　(4)
です。(3)，(4)に対してひたすら頑張って、x，yの偏微分を取れば良い訳です。Atanはアークタンジェントです。この方針だと、デカルト座標→極座標，極座標→デカルト座標の双方向性は自明ですよね？（だって計算可能なんだから！(^^)）。でも計算は確かにかなり面倒臭いです(^^;)。

　　※r＝0のケースは除く（後述）。

　でも同じ計算を陰にやる事もできますよね？（B→Aタイプ）。(1)と(2)の∂/∂xと∂/∂x，(1)と(2)の∂/∂yと∂/∂yをこの順に並べたものが、添付図の最初の4本の式です。

　最左辺は当然。「＝」を挟んだ左から2番目の式は、r＝r(x，y)とθ＝θ(x，y)および積の微分公式から当然です。2番目の式の∂r/∂x，∂θ/∂x，∂r/∂y，∂θ/∂yの係数を(x，y)で陽に表し、∂r/∂x，∂θ/∂x，∂r/∂y，∂θ/∂yについて4本の式を解いてやればOK！と思えませんか？(^^)。

　「＝」を挟んだ左から3番目の式は(1)と(2)から当然。最右辺は(3)から当然となります。以上を行列で整理すると、その下になります。4×4の連立方程式ですが、しょせんは4元連立「一次方程式」。やりゃ～できます。しかも今の場合、2×2にブロック化されてるじゃないですか！(^^)。

　もちろん4×4の係数行列が特異だったら、r＝r(x，y)とθ＝θ(x，y)の前提は破綻しますが、係数行列の行列式の値はブロック化されているために容易に、r^2とわかります。そうするとr＝0を除いて、r＝r(x，y)とθ＝θ(x，y)の前提はOKです。だって実際に具体的に計算できるんだから！。

　r＝0の場合は特異点ですが、(1)，(2)よりθの値に関わらず具体的に(x，y)＝(0，0)となります。r≠0で(r，θ)→(x，y)と(x，y)→(r，θ)は双方向で、r＝0では具体的に少なくとも(r，θ)→(x，y)は(x，y)＝(0，0)と一意に決まります。

　だからr＝0における(x，y)→(r，θ)とは、(r，θ)＝(0，0)の事だと「決めれば」良いんですよ。だって(r，θ)＝(0，θ)とは、幾何学的に明らかに極座標の原点の事で、それはデカルト座標の原点と同一のものでありかつ、r＝0以外では変換は正則なのだから。

　こういう事は、曲線座標への座標変換ではけっこうあります(^^;)。一点や二点特異点があったところで、具体的に「穴埋め可能なら」どうでも良いじゃないという話です(^^;)。

回答No.3

ddtddtddt

＞”ある座標系でのAという表現が座標変換でBとなることを示せ”

　線形であろうとなかろうと、座標変換は局所的には正則ですから、局所的にはA→Bが示せたなら、B→Aは当然です。

　ただ憶測ですが、座標系aでの表現をA，座標系bでの表現をBとすると、座標変換a→bの作用は、表現に対してB→Aになるので、「Aが成り立つのであれば、Bも成り立つ」を言うために、「Bが成り立つとしてAを導く」ように見えたのではないですか？。

　一般の場合、A⇒Bが成り立ったからといって、B⇒Aが成り立つとは限らないのはご存知ですよね？。頑張ったか(^^)、運よく(^^)、B⇒Aが明らかとなった時が、「問題が解けた」という状態です。もしくは「BはAの解である」。

お礼

回答ありがとうございます。本当は大した問題ではないはずですが。
直交デカルト座標系(x,y)と極座標系(r, θ)においてある種のスカラー関数の変換です。あっさり白状しますと、ラプラシアンの表現です。x=r cosθ, y=r sinθということですが、x, yをrやθで偏微分することは式から見てたやすいですが、r, θをx, yで偏微分するのが面倒ですね。ヤコビアンとか出てきてそれがゼロでないという前提の下で処理を進めるだろうなとは思いますが。つまり証明の方向に条件設定があり、証明の矢印が双方向に対称的にならないのではないかということです。初等的な微分積分学ですが。

回答No.2

f272

「A=B　を証明せよ、という問題がありました」と読んでいるときはA=Bという命題があるのかと思っていたら，「A→Bという方向です」というので？です。AとBがそれぞれ命題であってさっきの=は同値という意味だったのだろう。そして，読み進めると，「Aが成り立つのであれば、Bも成り立つということを言いたいために証明するわけです。」と書いてある。それだけじゃダメだよね。B→Aも証明しなくちゃ。
まあ，なんにせよ，具体性がないままいろいろ言っても，証明しなさいとしか言いようがない。

お礼

回答ありがとうございます。具体的な問題を示すと個別問題になるので一般論でなくなるからつまらないことになりそうなのでそうしませんでした。
しかし、私の説明も悪いことに気づきました。”Aが成り立つならBとなることを示せ”　というのではなく、”ある座標系でのAという表現が座標変換でBとなることを示せ”ということでした。
一方で、定理Aから定理Bが演繹された場合、逆に定理Bから定理Aが演繹されるということはありますでしょうか。媒介となる定理Cを承認するとして。

回答No.1

tmppassenger

こういう時は、具体的な問題と、あなたが見た具体的な証明を出してもらった方が回答しやすいです。