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積分
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∫ (√x)/(x^2+1) dx=I t=√x, x=t^2と 置換積分するとよい。dx=2tdtより I=∫ (2t^2)/(t^4+1) dt =∫(2t^2)/{(t^2+1)^2-2t^2} dt =∫(2t^2)/{(t^2-√2 t+1)(t^2+√2 t+1)} dt =∫{(2t^2)/(2t√2)}{1/(t^2-√2 t+1)-1/(t^2+√2 t+1)} dt =(1/(2√2)) ∫ 2t {1/(t^2-√2 t+1)-1/(t^2+√2 t+1)} dt =(1/(2√2)) ∫ {2t/(t^2-√2 t+1)-2t/(t^2+√2 t+1)} dt =(1/(2√2)) ∫ {(2t-√2+√2)/(t^2-√2 t+1)-(2t+√2-√2)/(t^2+√2 t+1)} dt =(1/(2√2)) {ln|t^2-√2 t+1|+(√2) ∫ 1/((t-1/√2)^2 +1/2)dt -ln|t^2+√2 t+1|+(√2) ∫ 1/((t+1/√2)^2 +(1/2)) dt} =(1/(2√2)) {ln|t^2-√2 t+1| -ln|t^2+√2 t+1|+(2√2) ∫ 1/(2(t-1/√2)^2 +1)dt+(2√2) ∫ 1/(2(t+1/√2)^2 +1) dt} =(1/(2√2)) ln|(t^2-√2 t+1)/(t^2+√2 t+1)|+ ∫ 1/(((√2)t-1)^2 +1)dt+ ∫ 1/(((√2)t+1)^2 +1) dt =((√2)/4) ln|(t^2-√2 t+1)/(t^2+√2 t+1)|+(1/√2) tan^-1((√2)t-1)+(1/√2) tan^-1((√2)t+1) =((√2)/4) ln |(x+1-√(2x))/(x+1+√(2x))| +((√2)/2){tan^-1((√(2x)-1))+tan^-1(√(2x)+1)}+C =((√2)/4) ln |(x+1-√(2x))/(x+1+√(2x))| +((√2)/2)tan^-1(2√(2x)/(1-(2x-1)))+C =((√2)/4) ln |(x+1-√(2x))/(x+1+√(2x))| +((√2)/2)tan^-1(√(2x)/(1-x))+C ( ln( )はln( )は自然対数 Cは任意定数 ) ∫(√x)/(x^2-1) dx=(1/2)∫(√x){1/(x-1)-1/(x+1) dx t=√x, x=t^2と 置換積分するとよい。 I=∫(t^2){1/(t^2-1)-1/(t^2+1) dt =∫{(t^2)/(t^2-1)-(t^2)/(t^2+1)} dt =∫{1+1/(t^2-1)-1+1/(t^2+1)} dt =∫{(1/2)(1/(t-1)-1/(t+1))+1/(t^2+1)} dt =(1/2) {ln |t-1|- ln|t+1|}+tan^-1(t)+C =(1/2)ln |(1-√x)/(1+√x)|+tan^-1(√x)+C ∫(e^x)/(x(x^2+1)) dx=∫(e^x)(1/x-x/(x^2+1)) dx この積分は解析的には解けない。 特殊関数論(大学数学レベル)で扱う指数積分Ei(x) (参考URL)を使えば積分可能。 I=Ei(x)-(1/2){(e^i)Ei(x-i)+(e^(-i))Ei(x+i)+C ∫(e^x)/(x^2-1) dx=(1/2)∫(e^x){1/(x-1)-1/(x+1)} dx= この積分は解析的には解けない。 特殊関数論(大学数学レベル)で扱う指数積分Ei(x) (参考URL)を使えば積分可能。 I=(e/2)Ei(x-1)-(1/(2e))Ei(x+1)+C
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- shintaro-2
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(x^2-1)は単に分母にいるだけなのか ルート内なのか、eの指数なのかをはっきりさせてください。 後は置換積分ということなのでしょう。
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