中学数学 平行四辺形の問題です。

質問

中学数学の問題で、答えは分かっていますが、解き方がわからない問題があります。
(1)は解けましたが、(2)(3)がわかりません。

[問題]
図のように、平行四辺形ABCDの辺ABを4等分する点のうち、Aに近い点をE、Bに近い点をFとする。辺CD、DAの中点をそれぞれG、Hとする。またFHとEGの交点をIとし、FHの延長線とCDの延長線の交点をJとする。以下の問いにア～オから選んで答えなさい。

(1)EF：GJを最も簡単な比で表しなさい。
ア、2：３　イ、1：2 ウ、3：4　エ、2：5　オ、4：5
[答え]　エ→済み　（△AFHと△DJHが同じということでAF=GJと考え答えを導くことが出来ました。）

(2)FI：IHを最も簡単な比で表しなさい。
ア、6：5　イ、5：4 ウ、4：3　エ、5：3　オ、3：2
[答え] 　ウ

(3)△EFIの面積を15cm^2とするとき、平行四辺形ABCDの面積を求めなさい。
ア、200cm^2　イ、210cm^2 ウ、220cm^2　エ、230cm^2　オ、240cm^2
[答え] 　イ

先に書きましたように(2)と(3)がわかりません。いろんな平行線などを引いてみたりしましたが、わかりませんでした。解き方を教えていただければと思います。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

(2)
FI:FJ=FI:(FI+IJ)=FE:(FE+GJ)=2:(2+5)=2:7...(★)
FI=(2/7)FJ
IJ:FJ=IJ:(FI+IJ)=GJ:(EF+GJ)=5:(2+5)=5:7
IJ=(5/7)FJ
HJ:FH=DH:AH=1:1
HJ=(1/2)FJ
FI:IH=FI:(IJ-HJ)=(2/7)FJ:((5/7)FJ-(1/2)FJ)
=4:(10-7)=4:3 ⇒ (答)ウ

(3)
並行四辺形ABCD=2△ABD=2×2△EFD
=4△EFG=4×(EG/EI)△EFI=4×(FJ/FI)△EFI
(★)より
=4×(7/2)×15 cm^2=210 cm^2 ⇒ （答）ィ

お礼

相似形と三角形の性質を利用して解くということで、やっと理解できました。相似形もこんなに複雑なのは初めてです。

ありがとうございました！

補足

ありがとうございます。今読んでいます。難しいですね～。

回答No.2

noname#222520

(2)
△AFH≡△DJHであることが理解出来たということは、△EFI∽△GJIであることも理解出来て、この相似比は(1)の答えである2：5になる、ここまではよろしいですね。
FI+IH=JH
この両辺にIHを加えると、
FI+IH+IH=JH+IH
FI+2IH=JI=5FI/2（相似比から）
これから、3FI/2=2IH→3FI=4IH
よって、FI：IH=4：3（ウ）
これは、IH=3FI/4として、FI：IH=FI：3FI/4=4：3と考えても同様です。

(3)
平行四辺形ABCDの底辺をABとすると、この長さはEFの2倍
高さは、△EFIの底辺をEFとしたときの△EFIの高さの(2+5)/2=7/2倍（相似比から）
よって、平行四辺形ABCDの面積は、15*2*2*7/2=210cm^2（イ）

お礼

(1)の答えが解くカギとなっていたのですね。

相似形の利用の仕方が難しかったですが理解できました。

ありがとうございました。

補足

ありがとうございます。今読んでいます。難しいですね～。