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2sinθの置換積分
領域 k^2x^2+1/(k^2)y^2=4 (k>0)・・・(1) と領域 xy≧1・・・(2) の共通部分の面積Sがkの値に無関係な一定の値になることを示し、その値を求めよ という問題の途中がわかりません。 (1)、(2)からyを消去し、k^4x^4-4x^2+1=0 よって、第1象限にある交点のx座標は、 x=(√6±√2)/2k また第1象限において (1)からy=k√(4-k^2x^2), (2)からy=1/x α=(√6-√2)/2k ,β=(√6+√2)/2kとすると、図形全体は原点に関して対称であるから、 S=2∫(α→β){k√(4-k^2x^2)-1/x}dx・・・(3) (3)の右辺第1項でkx=2sinθ とおくと、kdx=2cosθdθ 0<θ<Π/2の範囲で、x=α,βにそれぞれθ1,θ2が対応するとすれば・・・・と解説に書かれていますが、 どうして、0<θ<Π/2の範囲になるのでしょうか 高校生程度の知識でもわかるように説明お願いします。
- situmonn9876
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>どうして、0<θ<Π/2の範囲になるのでしょうか 高校生程度の知識でもわかるように説明お願いします。 >kx=2sinθ とおくと x→θのように置換積分するときは 必ず積分変数が1:1に対応するように変数範囲を決めてやらなければいけません。 積分範囲[α,β] ,0<α=(√6-√2)/(2k)≦x≦β=(√6+√2)/(2k) ...(A) に対して kx=2sinθ ...(B) の変数変換でθを1:1に対応させるには -π/2≦θ≦π/2 ...(C) と範囲を定義しておかないといけません。 今の場合、k>0かつxの範囲(A)では kx>0なので 0<kα/2=(√6-√2)/4≦sinθ=kx/2≦kβ/2=(√6+√2)/4<1 ...(D) (C)と(D)から 0<θ<π/2 と定義しておかないと、(B)の変数変換が 1:1対応の変数変換ができないのです。 (参考) 高校で習わないかもしれませんが より厳密にはθの範囲は arcsin((√6-√2)/4)≦θ≦arcsin((√6+√2)/4) となります。この範囲が変数変換後のθの積分範囲 [arcsin((√6-√2)/4), arcsin((√6+√2)/4)] となります。 高校でarcsin(x)=sin^-1(x) (アークサインx, 逆正弦関数)を習っていなければ解説にあるように α≦sinθ≦β で考えればいいでしょう。 (ポイント) 1:1の対応でない変数変換では置換積分法が適用出来ません。
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