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空間ベクトルに関する質問
平面ですと、平行でない２つのベクトルがあったとき、そのベクトル同士のなす角が一意に決まりますが、空間ですと、 （同じく平行でないとき）でもベクトル同士が交わる場合もあれば、ねじれの位置になる場合もあるので、そのなす角とは、どう考えたらよいのでしょう？ ベクトルの定義のところで、ベクトルは平行移動してもよいとなっています。 空間ベクトルでも、ねじれの位置にある２つのベクトルを、平行移動して始点を原点に移動して、そのなす角を考えても良いのでしょうか？ よろしくお願いします。
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>（同じく平行でないとき）でもベクトル同士が交わる場合もあれば、ねじれの位置になる場合もあるので、そのなす角とは、どう考えたらよいのでしょう？ ベクトルというのは 向きと長さを持つものであって、 始点はありません。 従って、空間ベクトルであってもねじれというのは存在しません。 >ベクトルの定義のところで、ベクトルは平行移動してもよいとなっています。 > 空間ベクトルでも、ねじれの位置にある２つのベクトルを、平行移動して始点を原点に移動して、そのなす角を考えても良いのでしょうか？ ですので２つの平面の法線ベクトルがあった場合には、 それぞれのベクトルを原点から始まるものとしてなす角を考えます。
補足
ベクトルに始点がないというのはどういうことでしょうか？
- trytobe
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3次元空間での2つのベクトルについては、２つの旋回方向にそれぞれの角度だけずれている、という解釈をしないといけません。 平面上に２機の飛行機が止まっているとしましょう。この向きを揃えるためには、地面に平行に θ だけ旋回するだけで、同じ向きを向くことができます。 しかし、空中を飛行中の飛行機ならば、この向きを揃えるためには、地面に平行に θ だけ旋回するだけではなく、機首を上げ下げする φ の旋回もしないといけないのです。 これが、平面（２次元）では自由度が１であるのに対し、３次元では自由度が２である、という意味です。 よく、3D モデルの操作・演算などで、この２つの自由度（上記ではθとφ）の変化の順番を逆にすると、最終的な向きが違っている、ということが起こります。これは、θ と φ という角度を１つのパラメータに統合できない、つまり 単独の角度では表現できない 背景でもあるのです。 ご質問の場合、ベクトルの始点を合わせるように平行移動することはできるのですが、そこには、2つのベクトルがなす角度 α のほかに、「２つのベクトルが存在する平面の角度」β というものが存在することが α を求める大前提として隠れているのです。つまり、自由度が２であることが見えにくくなってしまうので注意が必要なのです。 3次元 回転行列 順番 - Google 検索 https://www.google.co.jp/search?q=3%E6%AC%A1%E5%85%83+%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97+%E9%A0%86%E7%95%AA
補足
具体的に言えば、任意の２つのベクトルがあったとき、内積の定義に添って、成分計算でなす角θを計算しても間違いでないか？ ということです。
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