数式の変形について

質問

お世話になります。

AC+√(B^2-(AC-E)^2)-AD-√(B^2-(AD-E)^2)
此って、もう
どうにもならないもの
ですか？

それとも
もっとすっきり
させられるもの
ですか？

宜しくお願い致します。

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

#1です。

やっていることは

√X-√Y=(X-Y)/(√X+√Y)　　　　（1）

という変形です。
√X-√Yが分母になっている場合、いわゆる分母の有理化(分母の√ をやめて分子に持ってくる)を行います。

1/(√X-√Y)=(√X+√Y)/(√X-√Y)(√X+√Y)=(√X+√Y)/(X-Y)

これと似た発想であえて分母を作って分子を有理化したものです。物理の計算なんかに用いることがあります。（1）は分母を払えばすぐ証明できますね。なお＃１の中で分母の+が-になっていました。訂正します。正しくは以下の通りです。

AC+√(B^2-(AC-E)^2)-AD-√(B^2-(AD-E)^2)
＝P-Q+√(B^2-(P-E)^2)-√(B^2-(Q-E)^2)
＝P-Q+[(B^2-(P-E)^2)-(B^2-(Q-E)^2)]/[√(B^2-(P-E)^2)+√(B^2-(Q-E)^2)]
=P-Q+[2E(P-Q)-(P^2-Q^2)]/[√(B^2-(P-E)^2)+√(B^2-(Q-E)^2)]
=(P-Q){1+[2E-(P+Q)]/[√(B^2-(P-E)^2)+√(B^2-(Q-E)^2)]｝

>C=cos(θ1+θ2)
D=cos(θ2)

P=AC,Q=ADなので

P-Q=A(C-D)=A[cos(θ1+θ2)-cos(θ2)]
三角関数の加法定理の和と差の公式：
cosX+cosY=2cos[(X+Y)/2]cos{(X-Y)/2]
cosX-cosY=-2sin[(X+Y)/2]sin{(X-Y)/2]
を用いて
P-Q=A(C-D)=A[cos(θ1+θ2)-cos(θ2)]=-2Asin(θ1/2+θ2)sin(θ1/2)
P+Q=A(C+D)=A[cos(θ1+θ2)+cos(θ2)]=2Acos(θ1/2+θ2)cos(θ1/2)
という変形は可能です。
分母の√の中のP,QはB,Eが入っているためこれ以上の変形は特にありません。

お礼

再度のご回答
有り難うございます。

さて、先に謝罪します。

書かれた文面から
私に対する
しゃがれた声
その様なものが
何だか
聞こえる気が
しました

私が、高揚する余り
貴方に、要らぬ感覚を
与えてしまった
では、無いでしょうか?

重ねてお詫びします、
済みませんでした。

所で、
にも、関わらず
ご解説頂けた事
いっそう感謝致します。
有り難うございます。

〉1/(√X-√Y)=(√…
何でもいい、では　無く
乗除で
1を与えていたの
ですね

早とちりしました
面目ない

でも、
お礼欄で
J及びkを用いた式にて
見事、はまってしまった時は
私自身
目が点に、なってしまいました
取り乱し、済みません

J-k = (J^2-k^2)/(J+k)
ですね？

学ばせて頂きました
有り難うございます。

あと、
COSの件
変形頂き
有り難うございます

此以上は駄目
との、事
ですよね

やはり√取るのは
大変なのですね。

でも、前半部の簡略化
かなり行って頂けた
ので
感謝しています。

またお手を
煩わせる
かも、知れません

お手間
かも、知れません

が、其処を枉げて、其の時も
宜しくお願い、致します。

回答No.1

bran111

各変数の持つ意味合いに応じて、取り出したい挙動によって変形も異なってきます。
たとえば
AC=P、AD=Qとすると
AC+√(B^2-(AC-E)^2)-AD-√(B^2-(AD-E)^2)
＝P-Q+√(B^2-(P-E)^2)-√(B^2-(Q-E)^2)
＝P-Q+[(B^2-(P-E)^2)-(B^2-(Q-E)^2)]/[√(B^2-(P-E)^2)-√(B^2-(Q-E)^2)]
=P-Q+[2E(P-Q)-(P^2-Q^2)]/[√(B^2-(P-E)^2)-√(B^2-(Q-E)^2)]
=(P-Q){1+[2E-(P+Q)]/[√(B^2-(P-E)^2)-√(B^2-(Q-E)^2)]｝

これはAC=P、AD=Qの差が計算結果にどのように効いてくるかを検討する場合には有効です。
単に簡単にする（文字を少なくする）という意味では外れています。

お礼

有り難うございます。

ちょっと
もう少し
助けてください
構わないでしょうか？

と、いうのも
　√(B^2-(P-E)^2)-√(B^2-(Q-E)^2)
＝[(B^2-(P-E)^2)-(B^2-(Q-E)^2)]/[√(B^2-(P-E)^2)-√(B^2-(Q-E)^2)]
(式を抜粋しました)
此の部分が
判りませんでした

此の展開方法
もしかしたら
私、初見
かも、知れません

仮に
√(B^2-(P-E)^2)をj
√(B^2-(Q-E)^2)をk
と、した時

j-k = (j^2-k^2)/(j-k)

此は
　(j^2-k^2)/(j-k)
= (j^2-k^2)/((j^2-k^2)/(j-k))
= (j^2-k^2)/(j^2-k^2)×(j-k)
= j-k

と、いう事
で、しょうか？

もし、そう
なら
対象を分母に持って行けば
分子には
何でも　はめ込める

詰まり、
I^2 = I×I = n/I×I = n　？！
ですか？
(※注：nは不特定で、無関係な数
　　　例え、I = 10
　　　で、あろうとも
　　　例えば、3や5
　　　又は其の他、何でも構わない
　　　詰まりは
　　　10^2 = 5
　　　此が成り立つ)

後、
後出しジャンケン的で
申し訳ない
の、です
が、

もし
C = COS(θ1+θ2)
D = COS(　　θ2)
だった場合、

何か話が
変わるもの
ですか？

お教えください、
お願いします。