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広義積分の問題
∫［0, 16］1/(16-x)^1/4 dx という問題です。16で0になるのはわかります。でも肝心の積分が出来ません。４乗根をどうしたらいいかわからなくて、一歩も進みません。一歩目の考え方だけでも良いです。教えてください。
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I=∫［0, 16］1/(16-x)^1/4 dx t=(16-x)^1/4とおくと x=16-t^4 ⇒ dx=-4t^3dt I=∫［0, 16］1/(16-x)^1/4 dx=lim(u→2)∫［u, 0］(-4t^3dt)/t=lim(u→2)∫［0, u］4t^2dt =lim(u→2)(4t^3/3)［0, u］=lim(u→2)(4u^3/3)=32/3 置換によってx=16における特異性が消滅する、superficialな広義積分の例です。
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- info222_
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I=∫［0, 16］1/(16-x)^(1/4) dx 被積分関数の定義域は 16-x>0 ⇒ x<16 であることを考慮して I=∫［0, 16］(16-x)^(-1/4) dx =[-(16-x)^((1-(1/4))/(1-(1/4))] [0, 16] =[-(4/3)(16-x)^(3/4)] [0, 16] =(4/3) 16^(3/4) -(4/3)lim[x→16-0](16-x)^(3/4) =(4/3) (2^3) -(4/3) × 0 =32/3 ... (Ans.)
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