３次間数の面積の２等分の問題です

質問

＜問題＞
f(x)=x^3-2x^2+xとし、f(x)上の点、P(a,f(a))と原点を通る直線をｌとする。
但し、0<a<1とする。
(1)ｌが、f(x)と原点、P以外の点Qで交わる。Qの座標をaを用いて表わせ。
(2)f(x)とｌで囲まれたふたつの面積が等しくなる時、aの値を求めよ。

以上です。ご教示宜しくお願い致します。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

f(x)=x^3-2x^2+xとし、f(x)上の点、P(a,f(a))と原点を通る直線をｌとする。
但し、0<a<1とする。
(1)ｌが、f(x)と原点、P以外の点Qで交わる。Qの座標をaを用いて表わせ。

C:y=f(x)=x(x-1)^2

l: y=[f(a)/a]x=[(a-1)^2]x

lとCが交わるのは

x(x-1)^2=[(a-1)^2]x

x[(x-1)^2-(a-1)^2}=0

x(x-a)(x-2a)=0

x=0: 原点, x=a:P, x=2-a:Q

QはC上の点であるとともにl上の点でもある。

Q(2-a, (2-a)(a-1)^2)

(2)f(x)とｌで囲まれたふたつの面積が等しくなる時、aの値を求めよ。

この条件は

I=∫(0→2-a){x(x-1)^2-[(a-1)^2]x}=0

で表される。

I=∫(0→2-a){x^3-2x^2+x-[(a-1)^2]x}=[x^4/4-(2/3)x^3+x^2/2-(a-1)^2x^2/2](0→2-a)

=(2-a)^2{(2-a)^2/4-2(2-a)/3+(1/2)[1-(a-1)^2]}

I=0になるときa<1なので

{(2-a)^2/4-2(2-a)/3+(1/2)[1-(a-1)^2]}＝0　　　　（1）

ならよい

1-(a-1)^2=2a-a^2=a(2-a)

を用いて（1）は(2-a)がさらにく繰り出せて

(2-a)/4-2/3+a/2=0

3(2-a)-8+6a=0

a=2/3 (答え)

f(2/3)=2/27

(a,f(a))＝(2/3,2/27)は以下の理由によりCの変曲点である。

y'=3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)

x=1/3:極大、x=1:極小

y''=6x-4＝0

よりx=2/3は変曲点である。Cは変曲点に対して点対称でありlが変曲点を通る時対称性によりCとｌで囲まれたふたつの面積が等しくなる。

お礼

補足の疑問、判りました。
丁寧に解答を書いて頂き、有難うございました。

補足

>(2)f(x)とｌで囲まれたふたつの面積が等しくなる時、aの値を求めよ。
>この条件は
>I=∫(0→2-a){x(x-1)^2-[(a-1)^2]x}=0
>で表される。

申し訳ありませんが、ここの意味が良く分からないのですが？