高校数学の整数問題を解く方法とは？
- 高校数学の整数問題を解くための方法について説明します。
- 互いに素な自然数PとQで、Q|s| - P|t|が整数でないようにするための条件を考えます。
- 具体的な条件として、|s| < m < 1、|t| < n < 1となるようなmとnをPとQで表す必要がありますが、これを解決する方法について説明します。
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高校数学の整数問題
互いに素な自然数 P と Q があり、 P > Q、|s| < 1、|t| < 1 であるとき Q|s| - P|t| が整数でないようにするために |s| < m < 1、|t| < n < 1 となるような m と n を P と Q で表すにはどうしたらいいですか？ たとえば |s| < 1/2P、|t| < 1/2P のときだと Q|s| < Q/2P. P|t| < P/2P = 1/2. ∴Q/2P < 1/2. したがって Q|s| - P|t| < Q/2P - 1/2 -1 < Q/2P - 1/2 < 0 で、一見よさそうですが P = 3、Q = 2、s = 1/16、t = 1/24 という反例が簡単に見つかってしまいます。
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>であるとき Q|s| - P|t| が整数でないようにするために > |s| < m < 1、|t| < n < 1 >となるような m と n を P と Q で表すにはどうしたらいいですか？ 問題文が変です。 たとえば P=7,Q=5であるとき s=t=1/2 で Q|s| - P|t| は整数となります。 P=16、Q=13であるとき s=t=1/3で Q|s| - P|t| は整数となります。 つまり |s| < m < 1、|t| < n < 1 というような ｓとｔとが独立の数では Q|s| - P|t| が整数でないということは言えないのでは？ また ＞たとえば ＞ |s| < 1/2P、|t| < 1/2P ＞のときだと P,Qは互いに素な自然数ですから、 どちらも２以上である必要があります。 そうすると、s,tは１以下ですから 1/2Pとか1/2Qというのも変です。 1/(2P)、1/(2Q)というのなら別ですが
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お礼
> 1/2Pとか1/2Qというのも変です。 > 1/(2P)、1/(2Q)というのなら別ですが これはそのつもりで書きました。 回答ありがとうございます。 >ｓとｔとが独立の数では > Q|s| - P|t| が整数でないということは言えないのでは？ ああ、なるほど。ここをもう少し考えてみます。