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多項間漸化式

guiterの回答

  • guiter
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回答No.2

masuo_kun さん、前回は締め切りに間に合いませんでした。 前回の a(n+3)=a(n+2)+a(n+1)+a(n) については下のやり方で出来ました。 4項間漸化式において3次方程式が3つの異なる解を持つ場合は、 次のようにすれば良いと思います。 3つの解をαβγとします。 すると、  a(n+3)-(α+β)*a(n+2)+αβ*a(n+1)=γ{a(n+2)-(α+β)*a(n+1)+αβ*a(n)}  a(n+3)-(β+γ)*a(n+2)+βγ*a(n+1)=α{a(n+2)-(β+γ)*a(n+1)+βγ*a(n)}  a(n+3)-(γ+α)*a(n+2)+γα*a(n+1)=β{a(n+2)-(γ+α)*a(n+1)+γα*a(n)} のように変形できるので、これらから  a(n)=-1/{(α-β)(β-γ)(γ-α)}*[(β-γ){a(3)-(α+β)*a(2)+αβ*a(1)}α^(n-1) + cyclic ] のように出てきます。 5項間の場合も4つの解αβγδを持つ場合は  a(n+4)-(α+β+γ)*a(n+3)+(αβ+βγ+γα)*a(n+2)-αβγ*a(n+1)=δ{a(n+3)- …} などとすれば良いのではないでしょうか。 それ以上も同様に考えれば出来ると思います。(一般にではないですけどね)

KanjistX
質問者

お礼

いやはや感動いたしました。 こんなにきれいに左辺と右辺に分配できるんですね。 途中で気づきましたが、 n項間漸化式について 各係数は(n-1)次方程式の解α,β,γ,δ,…についてのk次の輪環の和なんですね。 だからこそ、 a(n+3)-(α+β)*a(n+2)+αβ*a(n+1)=γ{a(n+2)-(α+β)*a(n+1)+αβ*a(n)}のように 2次方程式の解と係数の関係式に 新たに加わった解γを右辺にかけるといったような単純作業で分配できるんですね。 僕にとってはこれ以上何も言うことはありません。 本当にありがとうございました。

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