多項間漸化式

質問

数学の授業で3項間漸化式をやったとき
ふと4項間漸化式の一般項が知りたくなりました。
しかしいろいろ試しましたが分かりません。
質問No.84673の「4項間漸化式」も見させていただきましたが、
結局、漸化式の問題ではないという感じで終わっていてよく分かりません。

たとえば3項間ならば特性方程式と二次方程式の解の公式から
a(n+2)-(α+β)*a(n+1)+αβ*a(n)=0 となるα,βを求め(α≠β)
(

回答No.1

noname#598

はい、No.84673の質問者です（笑）
４項間漸化式においては、
a(n+3)-α*a(n+2)-βa(n+1)=γ{a(n+2)-α*a(n+1)-βa(n)}
を満たすα、β、γが存在すればきれいに行くんだと思います。
ただし、私が質問したあの設定の場合は、３次方程式の解の公式に入れなくては解けません。
つまり、これが５項間、６項間・・・ともなると、伴って
5次方程式、６次方程式・・・が出てくることが予想されます。
この辺は「解の公式は存在しない」世界なので、一般に解くことは不可能と思われます。

実は３項間でも、a(n+2)=２a(n)のような隣接でないやつはだめですし、
（一般には偶数番目と奇数番目で場合分けする）
隣接３項間でも、a(n+2)=a(n+1)-a(n)
なんてシロモノもありますよね。
（もちろん、これは無理すれば解けますが、数Ａだけの知識では無理な範囲）

で、漸化式がでてくれば、それでいいじゃない、という結論で終わったのは、
あとはコンピュータにやらせときましょ、的な発想で、
もちろんｎ番目を一般にあらわすことはできないけど、
漸化式がでた、ということは普通のプログラムならFor Loopを使えばいいですし、
Excelやロータスのような表計算ソフトであればもっと簡単なんです。
たとえば有名なフィボナッチ数列
a1=1,a2=1,a(n+2)=a(n+1)+a(n)ですら、
a1とa2のセルには１を入れる
a3には、=a1+a2
と入力し、あとは下にこの式をコピーすれば、知りたいところまで計算可能ですよね。
有限個だったらこれで十分対応できますし、この式をとっておけば、
初項２つを入力しなおすだけで、バっと新しい数列ができますし。
（私の質問した内容も、これとまったく同じように対処できることは知っていましたが、あえてどうなんだろうって質問したのです。）
だから、あれはあれで終わってしまったのです。

一般項が求められるということも大切なのでしょうが、
コンピュータの世界では、漸化式が出てくればそれで十分だということでした。

蛇足ですが、私が２番目に出したa(n+2)=a(n+1)-a(n)
ですが、a1=0,a2=1のときは、
a(n)=[{(1-√(3)i)/2}^(n-1)-{(1+√(3)i)/2}^(n-1)}^(n-1)]*i/√3
だそうです。これが整数であることを証明するなんてのも面白そうですが・・・
（ド・モアブルの定理を使えば簡単です。数Ｂで習います）
１つの話題からいろんな知識が要求されて、
高校時代にはつながりもしなかったジャンルが、思わぬところでつながる。
これが数学の面白さなんだなって、学生時代に思いました。

長々とすいませんでした。

お礼

きっとmasuo_kunさんが来てくれると思っておりました。
というか期待しておりました。
guiterさんの回答を見させていただいたのですが、
a(n+3)-α*a(n+2)-βa(n+1)=γ{a(n+2)-α*a(n+1)-βa(n)} は間違いですよね。
式を変形しても、3次方程式の係数(α+β+γ),(αβ+βγ+γα),αβγが出てきません。
あとついでですが、
a(n)=[{(1-√(3)i)/2}^(n-1)-{(1+√(3)i)/2}^(n-1)}^(n-1)]*i/√3 も
a(n)=[{(1-√(3)i)/2}^(n-1)-{(1+√(3)i)/2}^(n-1)}^(n-1)]/i*√3 ですね。

特殊な3項間漸化式ですが、僕も同じようなことを考えていました。
特に、a(n+2)=a(n+1)-a(n)といった虚数を含む一般項式には興味がありました。
ド・モアブルの定理は来月頃に習うので、まだやっていませんが、
教科書等を見て極形式に変換したりしながら何とか自力で解きました。
最終的にn*(-60°)を60°120°180°240°300°360°に場合分けしましたが、
a(n)が整数となることが分かりました。
幅広い数学のお話をありがとうございました。