積分の問題です。

質問

y=log(x^2-1) (2≦x≦3) の曲線の長さを求める問題です。
∫［2,3］√((4x^2/(x^2-1)^2)+1) dx
はどのように求めますか？

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

y=log(x^2-1) (2≦x≦3) の曲線の長さL
y'=2x/(x^2-1)
L=∫［2,3］√(((y')^2)+1) dx
=∫［2,3］√((4x^2/(x^2-1)^2)+1) dx
=∫［2,3］√((4x^2+(x^2-1)^2)/(x^2-1)^2) dx
積分範囲より　2≦x≦3なので (x^2-1)>0
L=∫［2,3］(√(4x^2+(x^2-1)^2))/(x^2-1) dx
=∫［2,3］(√(x^4+2x^2+1))/(x^2-1) dx
=∫［2,3］(√((x^2+1)^2))/(x^2-1) dx
=∫［2,3］(x^2+1)/(x^2-1) dx
部分分数分解して
=∫［2,3］(1+1/(x-1)-1/(x+1)) dx
積分範囲では　x-1>0, x+1>0なので
= [x+log(x-1)-log(x+1)] [2,3]
=1+log((2/4)-log(1/3)
=1-log(2)+log(3) ...(答1)
or
=1+log(3/2) ...(答2)

お礼

丁寧にありがとうございます。
よくわかりました。

回答No.1

atkh404185

√[{4x^2/(x^2-1)^2}+1］
=√[{(4x^2)+(x^2-1)^2}/(x^2-1)^2］
=√{(4x^2+x^4-2x^2+1)/(x^2-1)^2}
=√{(x^4+2x^2+1)/(x^2-1)^2}
=√(x^2+1)^2/(x^2-1)^2
=(x^2+1)/(x^2-1)
={(x^2-1)+2}/(x^2-1)
=1+{2/(x^2-1)}
=1+{2/(x+1)(x-1)}
=1+{1/(x-1)}-{1/(x+1)}

この式を積分すればよいと思います。

お礼

丁寧にありがとうございます。