拡散方程式

質問

現在、研究室に所属している、大学４年の理系学生です。
モンテカルロシミュレーションをしているのですが、
正直、まるでついていけません。
今は、ランダムウォークの拡散方程式

u(x,t+Δt)-u(x,t)=1/2d Σ(iが1から2d)
(u(x+Δxi,t)-u(x,t))

というものから、

∂u/∂t=η∇(の2乗)u

をテーラー展開で求めるらしいのですが、
まるで分かりません。
どなたか、教えてください！！！

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> ΔｔとΔｘは、Δｘの２乗に比例してΔｔを０に近づけるんですよね！

そこまでちゃんと知っているなら，できるんじゃないですか？
u(x,t+Δt)-u(x,t) はΔt の１次までテーラー展開すればＯＫ．
Σ (u(x+Δxi,t)-u(x,t))
は例えば１次元なら
u(x+Δx)-u(x,t) + u(x-Δx)-u(x,t)
ですから，テーラー展開してΔxのゼロ次と１次は消えますね．
Δx の２次では ∂^2 u/∂x^2 が出てきますが，
これの３次元版が
∇^2 u = ∂^2 u/∂x^2 + ∂^2 u/∂y^2 + ∂^2 u/∂z^2
ですね．
あとは，Δt と (Δx)^2 の比例係数などからηが出ます．

ｄは次元，
３次元なら，i は各軸の正負方向で計６個ありますね．

お礼

ありがとうございます！
なんとか、解けそうです。

ほんとに助かりました。
これから　またがんばっていきます！

いつの日かまたお世話になるかもしれません（笑）

回答No.1

siegmund

卒業研究でしょうか．
自分のわからないところを図書館で本を何十冊も調べる，
などして時間をかけてもいいから必死になって何とか自分で解決する，
必要な知識が欠けていたら短期集中的に勉強してマスターする，
というようなことは卒業研究の重要な一環です．
というより，そういう経験(受け身姿勢でなくて自分で積極的に取り組む)
を積むことの方が卒研で得る知識自体よりむしろ重要だと思います．
そういう努力はされたのでしょうか？

せっかくですから，ヒントだけ．
ｉやｄの意味はわかっていますか．
微分方程式にする前の式が，(例えば)粒子数の保存則を表しているのはＯＫですか？
あとは，テーラー展開して最低次の項だけ残せばいいですよね．
このとき，Δt のゼロへの近づき方と Δx の方のゼロへの近づき方に
ある関係を持たせないといけませんね．

お礼

どうも　お返事ありがとうございます。
本等は調べていたのですが、
何処が、どう繋がっていくのかわからず、
困ってました。

ΔｔとΔｘは、Δｘの２乗に比例してΔｔを０に近づけるんですよね！