空間図形の問題です

質問

四面体OABCがあって、OA=OB=OC=3,AB=BC=CA=2とする。A(↑a),B(↑b),C(↑c)とする。
平面OBCに関してAと対称な点をDとすると、
↑ODは正射影ベクトルの考え方など駆使して
-a+7/5(b+c)
と表せることがわかりました(すみません、ベクトルの矢印は省略しました)。

そして、その次の小問が分かりません。

平面OCDに関してBと対称な点をEとするとき、四面体EABCと体積は四面体OABCの体積の比を求めよ。

という問題です。

回答よろしくお願いします……

回答No.3

noname#223095 · ベストアンサー

今，このページを更新してみると，別の回答者さんからの回答が出ていることに気付いたのですが，折角つくった回答ですから，そのまま投稿します．

老体に鞭を打って計算してみました．以下，例えばOAと書いたとき，それはベクトルOAを表します．同様に，例えばABと書いたとき，それはベクトルABを表します．

前半部分の結果より，

　　　　　OD=-OA+7/8OB+7/8OC・・・(1)

が成り立っています．ここで，次のことに注意します．

　　　　四面体OABCと四面体OBCDは存在する場所は違うが合同な四面体

ですから，先程と同様の操作で対称点Eをとると，先のA，B，CがB，C，Dに代わるだけなので，

OE=-OB+7/8OC+7/8OD・・(2)

が成り立つ．(2)のODのところへ(1)を代入して，

OE=-OB+7/8OC+7/8(-OA+7/8OB+7/8OC)

が成り立ちます．これを整理すると

　　　　　OE=(-7/8)OA＋(-15/64)OB+(105/64)OC

これを，後の計算上の便宜を考えて，

　　　　　OE=-1/64(56OA＋15OB-105OC)・・・(3)

と書いておきます(この書き直し自体に特に意味がある訳ではありません)．

ここで一般に，1つのベクトルPQのベクトルα上への正射影ベクトルは

　　　　　(PQ・α/｜α｜^2)α・・・(4)

という公式(?)に注意します．ここで，括弧内の分子はPQとαの内積，分母の｜α｜^2はベクトルαの大きさの二乗を表す．(4)は２行ほどで証明できるが，ご存じなければおっしゃって下さい．

公式(4)を用いて，OEのOA+OB+OC上への正射影ベクトルを計算します．ところで，1/3(OA+OB+OC)は正三角形ABCの重心の位置ベクトルだが，OA=OB=OCであるから，平面ABCに垂直でもある，従って，OA+OB+OCもまた平面ABCに垂直であることに注意します．以下，EからA，B，Cを含む平面までの距離を捉えるための準備です．

今，OEのOA+OB+OC(=αとおく)上への正射影ベクトルをOPで表すことにすると，公式(4)から，

　　　　　OP=(OE・α/｜α｜^2)α・・・(5)

以下，OA＝a，OB＝b，OC＝cと，ベクトルを略記します．

　　　(5)の｜α｜^2＝｜a+b+c｜^2
　　　　　　　　　　 =a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca・・・(6)

ここで，

a^2=b^2=c^2=3^2=9，　　ab=bc=ca=7・・・＊

に注意します．ここで，これらの計算法を質問者は既知であるとしています．もし，これらの計算法をご存じないとすれば，ここで質問された問題は質問者さんにとっては難し過ぎる問題なので，もっと基本的なことを勉強した方が後々のために得策です．教科書やどんな参考書にも記述されていますが・・・．

＊を(6)に適用することで，

　　　　　｜α｜^2 = 69・・・(7)

が得られるはずです．
次は(5)のベクトルαの係数の分子の計算です．

　　　　　OE・α= -1/64(56a＋15b-105c)・(a+b+c)

これをひたすら展開して，＊を使います．すると

　　　　　OE・α=391/32・・・(8)

が出ると思います(私の計算にミスがなければ)．(7)，(8)より，

　　　　　OE・α/｜α｜^2=391/(32×69)=(17×23)/(32×3×23)=17/96

これを，(5)に適用して，

　　　　　OP=(17/96)(a+b+c)・・・(9)

この式は，O，E，Hを含む平面内で，Eの方向から直線OHがある方向に向かってOHに垂直な並行光線を当てたときに直線OH上にできるベクトルOEの影のベクトルを表しています(正射影ベクトルとう表現はここからきています)．そして，(9)は

　　　　　OP=(17/23)(1/3(a+b+c))
　　　　　　＝(17/23)OH

と書き直され，この式は

　　　　　OH：PH=23：6，すなわち OH：EK=23：6

であることを意味しています．だだし，KはEから底面ABCに下した垂線の足です．

よって，求める体積比は

　　　　　23：6

です．

結局，正射影ベクトルの表す意味が分からないと，以上の解答はよく分からないと言えます．私的には，それなりの大学への進学を考えるなら常識としているべきこと・・・と思っていますが．

昨日の別の方への解答でもそうでしたが，黒板に書いて説明するなら簡単ですが，このようにネット上で数学の解答を入力しながら説明するのは精魂尽き果てますね・・・．どこかに記述ミスがないことを祈ります．参考になりましたら．

お礼

ありがとうございます！

読んで確認するのに時間かかりそうなので、読み終わった後、補足欄に発言させていただきますね

補足

確認完了しました

17/96 (a+b+c)
=17/32 (a+b+c)/3

のところで、分母が23となっていますので、それを訂正させていただくと正しい答えが得られました。

一見、煩わしそうな計算ですがこれなら最短ですね！
正射影ベクトルを用いて高さを算出しようとするのは初めて見たので、非常に良い経験になりました！

本当にありがとうございました！

回答No.2

atkh404185

ＯＡ=ＯＢ=ＯＣ=3, ＡＢ=ＢＣ=ＣＡ=2
より、
△ＯＡＢ≡△ＯＢＣ≡△ＯＣＡ
だから、
∠ＡＯＢ=∠ＢＯＣ=∠ＣＯＡ=θ
とおくと、
△ＯＡＢで、余弦定理より
cosθ=(3^2+3^2-2^2)/2・3・3=(9+9-4)/18=14/18=7/9
だから、
↑ａ・↑ｂ=↑ｂ・↑ｃ=↑ｃ・↑ａ=3・3・cosθ=3・3・(7/9)=7

△ＡＢＣは正三角形で、△ＯＢＣは ＯＢ=ＯＣ の二等辺三角形だから、
Ｄ(↑ｄ)とすると、Ｄは平面ＯＢＣに関して、Ａと対称だから、
(↑ａ+↑ｄ)/2=k{(↑ｂ+↑ｃ)/2}
↑ａ+↑ｄ=k(↑ｂ+↑ｃ)
↑ｄ=-↑ａ+k(↑ｂ+↑ｃ)
また、
(↑ｄ-↑ａ)⊥↑ｂ、(↑ｄ-↑ａ)⊥↑ｃ
より、
(↑ｄ-↑ａ)・↑ｂ=0、(↑ｄ-↑ａ)・↑ｃ=0
↑ｄ・↑ｂ-↑ａ・↑ｂ=0、↑ｄ・↑ｃ-↑ａ・↑ｃ=0
↑ｄ・↑ｂ=↑ａ・↑ｂ=7、↑ｄ・↑ｃ=↑ａ・↑ｃ=7
ここで、
↑ｄ・↑ｂ={-↑ａ+k(↑ｂ+↑ｃ)}・↑ｂ=-↑ａ・↑ｂ+k│↑ｂ│^2+k↑ｃ・↑ｂ
=-7+9k+7k=16k-7
だから、
16k-7=7
16k=14
k=7/8

↑ｄ・↑ｃ={-↑ａ+k(↑ｂ+↑ｃ)}・↑ｃ=-↑ａ・↑ｃ+k↑ｂ・↑ｃ+k│↑ｃ│^2
=-7+7k+9k=16k-7
だから、
16k=14
k=7/8

したがって、
↑ｄ=-↑ａ+(7/8)(↑ｂ+↑ｃ)

│↑ｄ│^2=│-↑ａ+7/8(↑ｂ+↑ｃ)│^2
=│-↑ａ│^2+(49/64)│↑ｂ│^2+(49/64)│↑ｃ│^2
　　　　　-(7/4)↑ａ・↑ｂ+(48/32)↑ｂ・↑ｃ-(7/4)↑ｃ・↑ａ
=9+441/64+441/64-49/4+343/32-49/4
=9
よって、
│↑ｄ│=3
また、
│↑ＣＤ│^2=│↑ｄ-↑ｃ│^2
=│↑ｄ│^2-2↑ｄ・↑ｃ+│↑ｃ│^2
=3^2-2・7+3^2
=9-14+9
=4
よって、
│↑ＣＤ│=2
したがって、
△ＯＣＤ≡△ＯＡＢ≡△ＯＢＣ≡△ＯＣＡ

Ｅ(↑ｅ)とすると、Ｅは平面ＯＣＤに関して、Ｂと対称だから、
(↑ｄ+↑ｅ)/2=l{(↑ｃ+↑ｄ)/2}
↑ｂ+↑ｅ=l(↑ｃ+↑ｄ)
↑ｅ=-↑ｂ+l(↑ｃ+↑ｄ)
また、
(↑ｅ-↑ｂ)⊥↑ｃ、(↑ｅ-↑ｂ)⊥↑ｄ
より、
(↑ｅ-↑ｂ)・↑ｃ=0、(↑ｅ-↑ｂ)・↑ｄ=0
↑ｅ・↑ｃ-↑ｂ・↑ｃ=0、↑ｅ・↑ｄ-↑ｂ・↑ｄ=0
↑ｅ・↑ｃ=↑ｂ・↑ｃ=7、↑ｅ・↑ｄ=↑ｂ・↑ｄ=7
ここで、
↑ｅ・↑ｃ={-↑ｂ+l(↑ｃ+↑ｄ)}・↑ｃ=-↑ｂ・↑ｃ+l│↑ｃ│^2+l↑ｄ・↑ｃ
=-7+9l+7l=16l-7
だから、
16l-7=7
16l=14
l=7/8
よって、
↑ｅ=-↑ｂ+(7/8)(↑ｃ+↑ｄ)
=-↑ｂ+(7/8){↑ｃ-↑ａ+(7/8)(↑ｂ+↑ｃ)}
=-↑ｂ+(7/8)↑ｃ-(7/8)↑ａ+(49/64)↑ｂ+(49/64)↑ｃ
=-(7/8)↑ａ-(15/64)↑ｂ+(105/64)↑ｃ

四面体ＥＡＢＣと体積は四面体ＯＡＢＣの体積の比は、
底面を△ＡＢＣにして考えると、
高さの比になる。

Ｏ、Ｅから平面ＡＢＣに下した垂線の足をそれぞれＦ(↑ｆ)，Ｇ(↑ｇ)とすると、
↑ＯＦ=↑ｆ=(1/3)(↑ａ+↑ｂ+↑ｃ)
また、
↑ＯＧ=↑ｇ=(1-m-n)↑ａ+m↑ｂ+n↑ｃ
とおくと、
★　↑ＯＧ=↑ＯＡ+m↑ＡＢ+n↑ＡＣ
　　　　　=↑ＯＡ+m(↑ＯＢ-↑ＯＡ)+n(↑ＯＣ-↑ＯＡ)
　　　　　=↑ａ+m(↑ｂ-↑ａ)+n(↑ｃ-↑ａ)
　　　　　=(1-m-n)↑ａ+m↑ｂ+n↑ｃ　★
↑ＥＧ=↑ｇ-↑ｅ
=(1-m-n)↑ａ+m↑ｂ+n↑ｃ-{-(7/8)↑ａ-(15/64)↑ｂ+(105/64)↑ｃ}
=[{(15/8)-m-n)}↑ａ+{m+(15/64)}↑ｂ+{n-(105/64)↑ｃ}

↑ＯＦ∥ＥＧ より
(15/8)-m-n=m+(15/64)=n-(105/64)=p
とおくと、
(15/8)-m-n=p ・・・・・・（１）
m+(15/64)=p ・・・・・・（２）
n-(105/64)=p ・・・・・・（３）
（２）より
m=p-(15/64) ・・・・・・（２）’
（３）より
n=p+(105/64) ・・・・・・（３）’
（２）’、（３）’を（１）に代入して、
(15/8)-{p-(15/64)}-{p+(105/64)}=p
3p=15/32
p=5/32
よって、
↑ＥＧ=(5/32)(↑ａ+↑ｂ+↑ｃ)

したがって、
四面体ＥＡＢＣと体積は四面体ＯＡＢＣの体積の比は、
│↑ＥＧ│：│↑ＯＦ│=(5/32)│↑ａ+↑ｂ+↑ｃ│：(1/3)│↑ａ+↑ｂ+↑ｃ│
=15：32

と、なるのではないでしょうか。

お礼

ありがとうございます！

読んで確認するのに時間かかりそうなので、読み終わった後、補足欄に発言させていただきますね

補足

解決いたしました！

答えもそれで正しそうです！

本当にありがとうございました

回答No.1

noname#223095

とりあえず，計算ミスの指摘と大雑把な方針だけ．

＞↑ODは正射影ベクトルの考え方など駆使して-a+7/5(b+c)

とありますが，係数は7/5ではなく7/8だと思いますので，計算を見直して下さい．

あと，２つの四面体OABCとEABCは底面ABCが共通だから，高さの比が体積の比になりますね．そんなこと私が指摘するまでもなく分かっておられると思いますが・・・．頂点OおよびEから底面ABCに降ろした垂線の足をそれぞれH，Kで表すことにすれば，べクトルEK // ベクトルOHですから，

　　　　　EK=kOH　　(EK，OHいずれもベクトルと思って下さい)

をみたす実数が存在しますが，このkを求めれば，求める比が，

　　　　　1：k

であることは中学生でも理解できることです．

問題はこのkをどうやって求めるか・・・です．まともにやると少し計算があり，60代半ばのジジーの私にとっては気の進まない計算ですが，質問者さんは高校生と想像しましたので若さでこの面倒さを乗り切って下さい．計算でやるのなら，ベクトルの大きさ，内積を使うのがよいように感じます．幾何を使うことでもっと楽に求められる方法があるのかも知れませんが，ここ３年以上数学から遠ざかっているため思いつきません．
最後まで解ききることができたときは，何らかの形で知らせて頂ければ嬉しいです．

少し参考になる部分がありましたら・・・．

お礼

回答ありがとうございます！

ご指摘の通りやってみることで、答えが確実に出せることは分かっていたのですが、模範的ではないかな、って思って質問しました。
(質問文にも書いておけばよかったですね……すみません)

また報告させていただきます！