確率の問題

質問

袋に入っている１から３００までの番号がついているボール３００個から無作為に２０個をとりだしました。その２０個の番号を覚えておき、袋へ戻し、また２０個とりだしました。
（１）１回目と２回目でとりだした２０個に含まれる同じ番号のボールが７個である確率は？
（２）１回目と２回目で番号が一致するボールの数の期待値は何個？

回答No.8

taropoo · ベストアンサー

「難しく考えすぎ」とおっしゃるあなた、そう言う発言は(2)の答えを出してからにしていただきたいと思います。

それはさておきq=91264のstomachmanさんの回答で解決しました。stomachmanさんに感謝！

求める式は
E(N,n) = n^2/N　　　　…(i)
です。

E(N,0) = 0, E(N,1) = 1/Nである事は既に述べました。
ここで
F(N,n) = Σ(k=0~n) nCk (N-n) * C(n-k) /NCn = 1　　　　(ii)
これはF(N,n)が全ての事象の確率の和である事を考えれば自明です。

さて、あるN,nについて(ii)が成り立っているとします。この時
　　　　E(N+1,n+1) = Σ(k=0~n+1) k * (n+1)Ck * (N+1-n)C(n+1-k) / (N+1)C(n+1)
　　　　　　　　= Σ(k=1~n+1) k * (n+1)Ck * (N-n)C(n+1-k) / (N+1)C(n+1)
　　　　　　　　= Σ(k=0~n) (k+1) * (n+1)C(k+1) * (N-n)C(n-k) / (N+1)C(n+1)
　　　　　　　　= Σ(k=0~n) (k+1) * (n+1) / (k+1) * (n+1) / (N+1) * nCk (N-n) * C(n-k) /NCn
　　　　　　　　= (n+1)^2/(N+1) Σ(k=0~n) nCk (N-n) * C(n-k) /NCn
　　　　　　　　= (n+1)^2/(N+1)　　　　　　　　←(ii)より
よってE(N+1,n+1)においても(i)が成り立ちます。

(ii)は任意のN≧n≧k≧0について成り立つので(i)が成り立つ事が証明されました。

一見帰納法のように見えて実は違います。何故なら証明においてあるN,nにおいて(i)が成り立つ事を使ってないからです。
ま、んなことはどうでもいいのですが、これでこの設問は完結です。

お礼

taropooさん、hikaru_nijinoさん、masuo_kunさん、nagataさん、shushouさん、回答どうもありがとうございました。
期待値が
E(N,n) = n^2/N
というきれいなものになるのはちょっと感動しました。
これからもよろしくお願いします。

回答No.7

hikaru_nijino

難しく考えすぎのような気がします

もともと、この問題では、番号は無意味だと思います

よって、簡単に３００個のボールの中に２０個色のついたボールがあり

そこから２０個ボールを取った時に色つきが何個かと言う問題です

まず、１個も色つきが出ない確率は

（２８０／３００）*（２７９／２９９）*………*（２６１／２８１）です

１個色つきが出る確率は
その１個が最後に出ると仮定して
（２８０／３００）*（２７９／２９９）*………*（２６２／２８２）*（２０／２８１）
です

どこにその一個が出ても同じなのでそれを２０倍します
（２８０／３００）*（２７９／２９９）*………*（２６２／２８２）*（２０／２８１）*２０

次に２個出る確率は同様に最後の２個で計算し
（２８０/３００）*（２７９/２９９）*………*（２０／２８２）*（１９／２８１）

２０個の中の２個なので２０＊１９／２で１９０通りなので１９０をかけて
（２８０/３００）*（２７９/２９９）*………*（２０／２８２）*（１９／２８１）*１９０

……

７個の場合は後ろの７個が色付と考え
（２８０/３００）*（２７９/２９９）*（２７８/２９８）*……（１５/２８２）*（１４/２８１）

２０個の中の７個なので２０*１９*１７*１６*１５*１４*１３/（２*３*４*５*６）

これを掛け合わせて

答えとなります
難しそうですが、シグマで書くと簡単です

０個のときから２０個の時のおのおのの確率より

期待値を算出すると

面倒だからやめます

回答No.6

taropoo

>masuo_kun様
帰納法で出来るとするとN>=nを仮定する必要が出てくるような場面が出てくるのではないかと想像してます。
ただ、敗軍の将、兵法を語るべからずで、帰納法にいき詰まりを感じている今、別解法を模索中です。

masuo_kun> ｋ＝０からではなく、ｋ＝MAX（２ｎ－Ｎ，０）からだと思います。
についてはコンビネーション(C)ではなく括弧の中に数字を縦に２つ並べた「２項係数」に置き換える事で解決すると思います。
２項係数では下の数字が負の時、その値を０と定義していたと思います。
4C7=4C(-3)なので２項係数で表せば０となります。
ここでは書きづらいのでコンビネーションを使っていますが。
要は4C7みたいな変な奴は0と定義しましょうと言う事です。

masuo_kun> さてさて、ここからが工夫のしどころで、
これにはちょっとはっとさせられる物がありました。ひょっとしたら糸口になるかもしれませんね。

回答No.5

noname#598

私も直感ではｎ^2/Ｎなのではないかと思ってはいるのですけど…
（m回やったときの期待値は　n^m/N　？？？？）

>taropooさんへ
帰納法で示すということは、全てのｎで成り立つことを示すということですよね。
明らかにＮ<ｎとなったときはまずいんですから、
帰納法以外の方法をとるべきだと思いますがどうでしょう？
自信がないまま、単純なことから発生した疑問ですが…

また、具体的なやつで考えたんですけど、
P(N,n,k) = nCk * (N-n)C(n-k)/NCn
Ｎ＝１１、ｎ＝７　とすると、ｋ＝０のときに
7C0*4C7となり公式に不具合が生じます。
実は、Ｎ－ｎ＜ｎ－ｋも含むので、この部分では０ですから、
ｋ＜２ｎ－Ｎ　のときは確率０です。
だから、正確な一般公式は、
ｋ＝０からではなく、ｋ＝MAX（２ｎ－Ｎ，０）からだと思います。

起きうる範囲では、この公式は成立するので、
これは使わせてください。
NCnはkによらない定数なので、後でまとめて割ることにします。
本論では３００と２０の関係から、上のような不具合は生じません。
さて、問題の設定をとっても簡単にしてみます。

では、話を簡単にしてN=11、ｎ＝4　のときをやってみます。
後でまとめてNCn＝11Ｃ4＝330で割ることにします。
ｋ＝０　のとき、分子＝4C0*7C4＝３５
ｋ＝１　のとき、分子＝4C1*7C3＝１４０
ｋ＝２　のとき、分子＝4C2*7C2＝１２６
ｋ＝３　のとき、分子＝4C3*7C1＝２８
ｋ＝４　のとき、分子＝4C4*7C0＝１

さてさて、ここからが工夫のしどころで、
１＋２８＋１２６＋１４０＋３５＝３３０＝11Ｃ４
（一般でもこの工夫はできるようです。）
期待値ですが、４＊１＋３＊２８＋２＊１２６＋１４０
これを、次のように分解します。
１＋２８＋１２６＋１４０
１＋２８＋１２６
１＋２８
１
以上の和

１＋１＋２８＝３０より、１＋２８＋１２６から５を借りて
１＋２８＋１２６＋１４０＋３５＝３３０　←きっとこれを使うのではないかと思う。
１＋２８＋１２１＝１５０
よって、求める期待値は　１＋150／330＝１＋５／11＝16／11

ｎ^２／Ｎは、Ｎ＝１１、ｎ＝４でも成り立ちます。
上のような工夫をすれば、できるんじゃないかと思いますが、
昼休みが終わってしまうのでこの辺で。

正しいことですか・・・難しいなあ・・・

回答No.4

taropoo

早速ギブアップです。（根性ね～）

考えたのはこうです。

袋に入っている１からNまでの番号がついているボールN個から無作為にn個をとりだし、そのn個の番号を覚えておき、袋へ戻し、またn個とりだす。
１回目と２回目でとりだしたn個に含まれる同じ番号のボールがk個である確率はをP(N,n,k)とすると
　　　　P(N,n,k) = nCk * (N-n)C(n-k) / NCn　　　　…(i)
この時１回目と２回目で番号が一致するボールの数の期待値をE(N,n)とすると
　　　　E(N,n) = n^2 / N　　　　　　　　…(ii)
よってN=300, n=20を代入して、求める答えは20^2/300 = 4/3となります。

(ii)となる理由ですが以下のように証明するつもりでした。

----------------------------------------------------------------------------
(i)より期待値E(N,n)は
　　　　E(N,n) = Σ(k=0~n) k * P(N,n,k)　　　　…(iii)

１．n=0の時
(iii)よりE(N,0) = 0、これは(ii)を満たす。

２．n=1の時
(iii)より
　　　　E(N,1) = 0 * P(N,1,0) + 1 * P(N,1,1) = 1C1 * (N-1)C(1-1) / NC1 = 1/N
これも(ii)を満たす。

３．あるnについて(ii)が成り立っていたとする。即ち、
　　　　E(N,n) = Σ(k=0~n) k * P(N,n,k) = n^2 / N
とする。この時、
　　　　E(N,n+1) = Σ(k=0~n+1) k * P(N,n+1,k)
　　　　　　　　= Σ(k=0~n+1) k * (n+1)Ck * (N-(n+1))C((n+1)-k) / NC(n+1)
　　　　　　　　= Σ(k=1~n+1) k * (n+1)Ck * (N-(n+1))C((n+1)-k) / NC(n+1)　　　　←k=0の時は0だから
　　　　　　　　= Σ(k=0~n) (k+1) * (n+1)C(k+1) * (N-(n+1))C(n-k) / NC(n+1)　　　←kを１つずらした
　　　　　　　　= …
----------------------------------------------------------------------------

この考えを推し進めて行くと
　　　　E(N,n+1) = ((n+1)/n)^2 E(N,n) = (n+1)^2/N　　　　　…(iv)
よって数学的帰納法により(ii)が証明される事になるはずでした。

が、どう頑張っても(iv)が導き出せません。

と言うわけで情けなくもギブアップです。誰か(ii)を証明してください。
(ii)が正しい確信は持ってます。よろしく。

回答No.3

taropoo

(2)の答えは4/3です。

理由は考え中。
なぜ4/3だと思ったか。実は経験則です。
３００個とか２０個とかじゃなく一般的にＮ個の中からｎ個を選び出す場合に同じボールがｋ個あった時にどうなるかなーって色々計算してたら
期待値があるとってもシンプルな式で表される事に気付いたんです。
その式と証明については乞うご期待と言う事で。（いつまでかかる事やら。。。）

そのうちギブアップして誰かにディスパッチするかも。

回答No.2

nagata

(1)一回目に引いたボールが20個、引かなかったボールが180個あります。
2回目では1回目に引いた20個のボールの中から7個、引かなかったボール180個
のボールの中から14個引いたわけです。つまり
20個の中から7個選び、かつ180個の中から14個選ぶ選び方を考えれば良いわけです。
場合の数が求まれば確率を求めるのは簡単だと思います。

(2)１回目と2回目で番号がn個一致する場合の数は、
20個の中からn個を選び、180個の中から20ーn個選ぶ場合の数を数えれば良いわけです。
1回目と2回目でn個一致する確率をPnとすると期待値はΣ(0<=n<=20)n*Pnで求まります。

回答No.1

shushou

(1)について
まず覚えた20個の番号を1,2,3,...,20であるとします。
そうなる確率は1/300C20ですね。
（aCbはa個のものからb個のものを選ぶ場合の数です。）
で、２回目でとりだした２０個に含まれる同じ番号のボールが７個である確率は
20C7×280C13/300C20
となります。またおぼえる20個の番号の選び方は300C20通りあるので、結局
(1/300C20)×(20C7×280C13/300C20)×(300C20)
=20C7×280C13/300C20
が求める確率となります。

(2)について
同様に１回目と２回目で番号が一致するボールの数がk個である確率は
20Ck×280C(20-k)/300C20
ですから,後は期待値の定義に従って求めればよいと思います。
が、この計算めんどうで...私にはどうやったらうまくいくか
わかりません。