微分可能なのに尖ってる？

質問

（ベクトルを全角大文字で書きます。）

『
パラメータtで表されるベクトルＸ = Φ(t)がt0で微分可能とは
Φ(t) = Φ(t0) + Α(t - t0) + Θ(t)
lim(t→t0) |Θ(t)|/(t - t0) = 0
なるΘ(t)が存在する事である
』
と、物の本で読みました。

そして微分可能な時
Α = Φ'(t0)を微分係数といい、t0での接線の方向ベクトル、
dＸ = Φ'(t0)dtを微分と言い、接線の方程式だそうです。

なるほどと納得してみたのですが実際の問題に当たったら不可解な点が出てきました。

Ｘ = (cos^3 t, sin^3 t)
というものです。きっと名前も付いてるような有名な図形だとは思うのですが。
dＸ = (-3 cos^2 t sin t, 3 sin^2 t cos t) dt
で一見微分可能なのですが、Excelで図形を書いてみた所、
(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)の４点で尖ってるんです。

微分可能なのに尖ってるってどう言う事？とdＸを見直してみた所、確かにこの４点ではdＸ = ０となります。

でも
Θ(t) = (cos^3 t - 1, sin^3)
とおくと、計算すれば分かりますが
lim(t→0) Θ(t)/t = 0
が成り立ってるので定義から微分可能と言う事になります。

と言う事は、「見た目には尖って見えても微分可能である」と言う事があり得ると考えていいのでしょうか？

回答No.6

siegmund · ベストアンサー

再び siegmund です．

> 尖っていると言うのは
> dx/dy　or　dy/dx
> が∞になることであって、
> dx/dt = dy/dt = 0
> とは別の話だったんですね

単に∞になるだけでは尖りません．
例えば，y=x^3 で，原点では dx/dy = ∞ ですが，もちろん尖っていませんね．
今の問題の(0,1)での尖りで言うなら，ｔが (π/2)-0 から (π/2)+0 に変化するとき
dy/dx が －∞から＋∞ にジャンプする事が本質です．
同じことですが，パラメーターを使わないで表現するなら，
ｘが－０から＋０に変化するとき，
dy/dx が ＋∞から－∞ にジャンプする，ということです．

なお，尖りには今のようなタイプだけではなくて他にもタイプがあります．
図が描けないので説明しにくいですが，
バナナの先を尖らした様なタイプの尖りもあります．
今の場合とはちょっとタイプが違いますね．

> と言う事は「tに関して微分可能であるけども接線もなければ接線の方向ベクトルもない」
> という事がありうると考えていいのでしょうか

今の例がまさにそうです．

> 本には
> 『
> そして微分可能な時
> Α = Φ'(t0)を微分係数といい、t0での接線の方向ベクトル、
> dＸ = Φ'(t0)dtを微分と言い、接線の方程式
> 』
> と書いてありましたが、
> これはΦ'(t0)dt = ０の時には当てはまらないと解釈していいのでしょうか？

そのとおりです．
もともと
Φ(t) = Φ(t0) + Α(t - t0) + Θ(t)
と書いたのは，ｔの変化に対する１次の変化を取り出したわけで，
ｙ方向の１次変化とｘ方向の１次変化との比 dy/dx が接線の傾きを与えます．
Φ'(t0) = ０ のときは１次変化がありませんから，接線は存在しません．
Φ'(t0) = ０ は特異点，そうでない場合は通常点といいいます．

Φ(t) = Φ(t0) + Α(t - t0) + Θ(t) は
テーラー展開で最低次をとったという思想ですが，
Φ'(t0) = ０のときは最低次のΑ(t - t0) が消えてしまっています．
このときは
Φ(t) = Φ(t0) + Ｂ(t - t0)^2 + Ψ(t)
と書いた２次の項 Ｂ(t - t0)^2 を調べる必要があります．

ここら辺の事情は，もっと単純な y = f(x) を調べるときでも似たようなものです．
f'(x) = 0 のとき，極大値になるか極小値になるかどちらにもならないかは，
f''(x) を調べることによってわかりますね．
今も同じような事情です．

お礼

大変良く分かりました。
全て納得です。
ありがとうございました。

回答No.5

takebe

再びtakebeです．

この定義では，尖っているところの接線の方向ベクトルは(0, 0)となるのでしょうか．確かにちょっと変ですね．ベクトルではありませんので．

補足

dx/dt = -3 cos^2 t sin t
dy/dt = 3 sin^2 t cos t
なのでsin t, cos tのどちらかが0になるところでは０ベクトルになります。

回答No.4

hogehogeninja

＞「tに関して微分可能であるけども接線もなければ接線の方向ベクトルもない」という事がありうると考えていいのでしょうか？
厳密な議論の話として。

＞『
＞パラメータtで表されるベクトルＸ = Φ(t)がt0で微分可能とは
＞Φ(t) = Φ(t0) + Α(t - t0) + Θ(t)
＞lim(t→t0) |Θ(t)|/(t - t0) = 0
＞なるΘ(t)が存在する事である
＞』

とあり、Aについての言及がありません。例の場合、ベクトルAは一意に決まらないように思えます。つまりlimitの上からの極限と下からの極限で違うわけで、そこらへんの定義が「とがっていても微分可能」かどうかの理解する糸口になるように思います。

補足

> 厳密な議論の話として。
厳密な議論の話として何ですか？

> Aについての言及がありません。
そのあとに『Α = Φ'(t0)を微分係数といい、t0での接線の方向ベクトル』と書いてありますが。
あるいは
『
Φ(t) = Φ(t0) + Α(t - t0) + Θ(t)
lim(t→t0) |Θ(t)|/(t - t0) = 0
なるΘ(t)が存在するようなＡが存在する。
』
と言い換えてＡを定義してもいいかもしれません。

> つまりlimitの上からの極限と下からの極限で違うわけで
同じですよ。ともに(0,0)です。

今の疑問はsiegmundさんのご回答に対する補足にまとめさせていただきました通りです。

回答No.3

siegmund

この図形はアステロイド(星茫形)と呼ばれています．
パラメーターの t を消去すれば
(1)　　|x|^(2/3) + |y|^(2/3) = 1
ですね．
ダイヤモンドの各辺が内側にカーブしたような形．
たしかに，頂点にあたる(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)の４点で尖っています．

さて，私も takeba さんと本質的に同意見です．

ベクトル関数として見れば，
(2)　　x = cos^3 t
(3)　　y = sin^3 t
もすべての t に対して導関数を持ちます．

xy 平面の図形として尖っているかどうかは，dy/dx あるいは dx/dy
の振る舞いで決まります．
(4)　　dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
ですから，dy/dt と dx/dx 個々には異常がなくても，
dy/dx に異常が起きることはありえます．
実際，
(5)　　dx/dt = 3 cos^2 t sin t
(6)　　dy/dt = 3 sin^2 t cos t
ですから
(7)　　dy/dx = tan t
となって， t = π/2 ではおかしなことが起こりますね．
これが(0,1)での尖りに対応しています．

takebe さん：
> tがちょっとしか増えてないのにXがたくさん動いてしまったら微分できませんが，
> おそらくちょっとしか動かないのではないでしょうか．
まさにその通りですよね．
所詮，cos^3 t と sin^3 t ですから，ちょっと t が動いてＸが大幅に動くことは
ありえません．

> tに対してのx座標とy座標の動きは両方とも小さいのですが，
> あるところではどちらかの動きがより小さいくなるため，
> x座標とy座標で見るととがってしまうのでしょう．
(5)(6)を見ると，t=π/2 では cos t = 0 ですから
(8)　　dx/dt = 0,　　dy/dt = 0
になっています．
どちらもゼロですが，当然 dx/dt の方が高次の微小量ですね．
そういうわけで，dy/dx が発散するという仕組みになっています．

補足

尖っていると言うのは
dx/dy　or　dy/dx
が∞になることであって、
dx/dt = dy/dt = 0
とは別の話だったんですね。

だからxyだけ見てると微分不可能に見えるけどtに関しては微分可能なんですね。そこまでは納得です。

と言う事は「tに関して微分可能であるけども接線もなければ接線の方向ベクトルもない」という事がありうると考えていいのでしょうか？

本には
『
そして微分可能な時
Α = Φ'(t0)を微分係数といい、t0での接線の方向ベクトル、
dＸ = Φ'(t0)dtを微分と言い、接線の方程式
』
と書いてありましたが、これはΦ'(t0)dt = ０の時には当てはまらないと解釈していいのでしょうか？

回答No.2

ametsuchi

takebeさんに１票。

私は仕事でパラメトリック３次曲線をよく使いますが、大体はパラメータと実長はある程度比例しているものの、場合により、パラメータと実長が比例しなくなる場合があります。

この場合まさしく、ｔに関しては微分可能ではあるが、だからと言ってｘ、ｙ平面内で幾何的に「滑らかでない」曲線の例ですね。ｔに関してx,yが停留すれば当然そうなるでしょう。絵を描くまでもなく私もピンと来ました。

やや脱線ながら、１次元追加して特異点を解消したりするのは数学屋さんの常套手段です。最近CADで主流のNURBSなんかも同次座標を用いて表現し、３次元空間への射影が有理式になるなんて巧妙な仕掛けになっています。

お礼

「パラメトリック３次曲線」とか「実長」、「停留」などピンとこない言葉がいくつかあって、
自分が理解したのかどうか良く分かりませんが、なんとなく分かった気がします。

> やや脱線ながら

の後は残念ながらさっぱりでした。ごめんなさい。

takebeさんへのお礼にも書いた通り、本に書いてあった事で一部すっきりしない部分がありますので
siegmundさんのご回答に対する補足にまとめさせていただきました。

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

takebe

tに関しての微分だからではないですかね．

tがちょっとしか増えてないのにXがたくさん動いてしまったら微分できませんが，おそらくちょっとしか動かないのではないでしょうか(どんな図形なのか計算していないのでわかりませんが)．

tに対してのx座標とy座標の動きは両方とも小さいのですが，あるところではどちらかの動きがより小さいくなるため，x座標とy座標で見るととがってしまうのでしょう．

お礼

> tに関しての微分だからではないですかね．

これが一番本質を突いた答えでしょうね。

ただ、本に書いてあった事で一部すっきりしない部分がありますのでsiegmundさんのご回答に対する補足にまとめさせていただきました。

ご回答ありがとうございました。