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y=ax－2と円x^2+y^2=1が異なる二点A.
y=ax－2と円x^2+y^2=1が異なる二点A.Bを共有し、線分ABの長さが√2のときaをもとめよ。 この問題をおしえてください
- oreoreore158
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この問題は、他の回答にあるように、点と直線の距離を求める公式を用いると至極簡単ですが、自身でこの公式を導き出すことは簡単ではありません。 そこで、問題をじっくりと眺めます。 線分ABの長さは√2であって何故√3ではないのか、もしも√3であったならば、解法としては点と直線の距離を求める公式を用いてもいいとは思いますが、√2である点に着目して出題者の意に沿う形の解法が必要であるかと思います。 三角形OABは、OA=OB=1、∠AOB=90°の直角二等辺三角形になるので、おそらく出題者は、この点に気付いてこの点を用いた解法を期待している（試している）のだと思います。 三角形OABが直角二等辺三角形であることから、点Aを（k1，k2）と表わすと、点Bは点Aを原点O（0，0）を中心に90°回転させた点になるので（-k2，k1）と表わせる（k1^2+k2^2=1） よって、2点A、Bを通る直線の方程式は、 y=（k2-k1）/（k1+k2）*（x-k1）+k2 これは、x=k1とするとy=k2 また、x=0とするとy=1/（k1+k2） これらと、y=ax-2を比較すると、 x=k1のとき、k2=ak1-2→a=（k2+2）/k1－(1) x=0のとき、1/（k1+k2）=-2→k2=-（k1+1/2）－(2) k1^2+k2^2=1であるから、 k1^2+（k1+1/2）^2=1 8k1^2+4k1-3=0 k1=（-1±√7）/4 ・k1=（-1+√7）/4のとき (2)から、k2=（-1-√7）/4 (1)から、a=√7 ・k1=（-1-√7）/4のとき (2)から、k2=（-1+√7）/4 (1)から、a=-√7
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- gohtraw
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ABの中点を点Cとすると、OCの長さは√2/2です。これは 直線ｙ＝ax-2と原点の距離に当たります。 あとは点と直線の距離の公式に原点（０，０）とｙ＝ax-2を 当てはめるだけです。
- bran111
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直線 Ｌ：y=ax－2 (1) 円 C：x^2+y^2=1 (2) (1)と（2）の交点をＡ(x1,y1),Ｂ(x2,y2)とする。線分ABの長さが√2のとき (x1-x2)^2+(y1-y2)^2=2 (3) Ａ(x1,y1),Ｂ(x2,y2)がＣ上の点であることから x1^2+y1^2=1 (4) x2^2+y2^2=1 (5) Ａ(x1,y1),Ｂ(x2,y2)がＬ上の点であることから y1=ax1-2 (6) y2=ax2-2 (7) (3)を展開し(4),(5)を用いると x1x2+y1y2=0 (8) これに(6),(7)を代入 x1x2+(ax1-2)(ax2-2)=0 (a^2+1)x1x2-2a(x1+x2)+4=0 (9) x1,x2はＣ，Ｌの交点であるので(1),(2)を連立し、yを消去した式 x^2+(ax-2)^2=1 すなわち (a^2+1)x^2-4ax+3=0 （10） の2つの解である。2つの異なる実解を有することから Ｄ＝(4a)^2-12(a^2+1)>0 |a|＞√3 (11) 解と係数の関係より x1+x2=4a/(a^2+1) (12) x1x2=3/(a^2+1) (13) (12),(13)を(9)に代入 3-8a^2/(a^2+1)+4=0 整理して a^2=7 ⇒ a=±√7. （14） これは(11)を満たす。A,Bの座標を求める必要はないが以下は確認のため a=√7のとき(10)は x^2-(√7/2)x+3/8=0 x=(√7±1)/4 (1)に代入して y=(±√7-1)/4 a=-√7のとき(10)は x^2+(√7/2)x+3/8=0 x=(-√7±1)/4 (1)に代入して y=(∓√7-1)/4 よって A((√7+1)/4 ,(√7-1)/4), B((√7-1)/4 ,(-√7-1)/4） または A((-√7+1)/4 ,(-√7-1)/4), B((-√7-1)/4 ,(√7-1)/4）
- f272
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ABの長さが√2であり円の半径が1だから，円の中心O(0,0)からABにおろした垂線の足をHとするとAH=√2/2で，OA=1です。三平方の定理からOH=√2/2ですから 点Oから直線ABまでの距離|0-0-2|/√(a^2+1)=√2/2 a=±√7
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お礼
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