- 締切済み
直交行列の証明問題を教えて下さい
この証明法が分かりません。 問題：Aをn×nの行列とする。 det(A)=1かつnが奇数の時、Aが固有値1を持つのを示しなさい。 という問題です。 困っています・・。分かる方、よろしくお願いいたします。
- o-saka-iru
- お礼率68% (42/61)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- jcpmutura
- ベストアンサー率84% (311/366)
「 問題:Aをn×nの直交行列とする。 det(A)=1かつnが奇数の時,Aが固有値1を持つのを示しなさい。 」 とする det(A)=|A|と略記する Aの転置行列をtAとする |A-λE|=0 となるときAが固有値λを持つというのだから Aが固有値1を持つのを示すためには |A-E|=0 を示せばよい |A|=|tA|=1 だから Aが直交行列ならば A(tA)=(tA)A=E だから |A-E| =|A-E||A| =|A-E||tA| =|A(tA)-tA| =|E-tA| =|E-A| =|-(A-E)| ={(-1)^n}|A-E| ↓nが奇数で{(-1)^n}=-1だから |A-E|={(-1)^n}|A-E|=-|A-E| ↓ |A-E|=0 ∴ Aが固有値1を持つ A= (2,0,0.0) (0,2,0.0) (0,0,1/4) とすると det(A)=2*2*1/4=1 n=3 だけれども Aの固有値は 2 2 1/4 だから Aは固有値1を持たない A{t(A)}=t(A)A= (4,0,0.00) (0,4,0.00) (0,0,1/16) ≠E だから Aは直交行列でない このようにAが直交行列でなければ 問題は成立しない
関連するQ&A
- 幾何学(行列)の問題を教えて下さい。
この問題が分からず困っています。 分かる方、お願いいたします 問題： 行列式が1であるn×n直交行列全体をSO(n)、つまり SO(n)={A∊MnR | tAA=E,detA=1} ※tAはAの転置行列です とおく。 このとき (1)nが奇数の時、A∊SO(n)は固有値1を持つことを示しなさい (det(A-E)=0を示せばよい) (2)(1)の証明で用いた各等式(等号)が成り立つ理由をそれぞれに関して述べなさい (3)SO(2)の元は2×2の行列で (cosθ -sinθ) (sinθ cosθ ) (0≦θ<2π) と一意的に書ける事を示しなさい。 という問題です。 分かる方教えて下さい、お願いいたします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の問題です、よろしくお願いします。
A=(a b ; c d) （←2次の正方行列をこのように表すとします) (1)行列Aが固有値λ1、λ2 (λ1≠0、λ2≠0)を持つとするとき、ケーリー・ハミルトンの式を用いて、 tr(A)=λ1+λ2、 det(A)=λ1・λ2 となることを示せ。 (λ1の"1"などはλの添え字だとします) (2)上記の条件の下で、(λ1-λ2)・A＾n=((λ1)＾n-(λ2)＾n)・A-((λ1)＾n・λ2-λ1・(λ2)＾n)・E が成り立つことを示せ。ただしnは正の整数とする。 ( "＾n" はn乗を、"E"は単位行列を表しています) という問題がよくわかりません。 (1)は、僕なりの解としては、ケーリー・ハミルトンを用いなければ A-λE=(a-λ b ; c d-λ) det(A-λE)=(a-λ)(d-λ)-bc =λ＾2-(a+d)λ+ad-bc=0 この方程式の2解はλ1、λ2なので、解と係数の関係より λ1+λ2=a+d=tr(B) λ1・λ2=ad-bc=det(B) としましたが、ケーリー・ハミルトンを用いるとどのようになるのでしょうか？ (2)は、全然方針が思い浮かびません…どのように解くのでしょうか？よろしくお願いします。
- 締切済み
- 物理学
- 行列の固有値問題
以下の証明はどのように行えばいいのでしょうか。 ｎ次多項式f(s)=ａ(n)ｓ^n ＋ ａ(n-1)ｓ^(n-1) ＋ ・・・・ ＋ａ(1)ｓ ＋ ａ(0)とする。 行列Ａ(ｎ×ｎの正方行列)の固有値がλ１、λ２、・・・、λｎであるとき、行列多項式f(A)の固有値はf(λ1)、f(λ2)、・・・、f(λn)であることを、任意のｎ次正方行列は適当な正則行列ＱによってＱ^(-1)ＡＱが下三角行列になるようにできることと、下三角行列の固有値は対角成分になることを用いて示せ。 という問題です。分かりにくくてすいません。 行列多項式というものが初めて目にする言葉ですし、方針が立ちません。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の問題を教えてください。
行列の問題で解けなくて困っています. よろしければ教えていただけないでしょうか。 行列に関係する以下の問い(1)～(4)に答えよ。 (1)2行2列の行列をAとする。さらにその固有値をλ1，λ2(λ1≠λ2)とし、それぞれに付随する固有ベクトルを(x1，y1)と(x2，y2)とする。 P≡ ｜x1 x2｜ ｜y1 y2｜ と置くと、固有値と固有ベクトルの定義から AP＝P|λ1 0| |0 λ2| と書ける。ここから、 A＝P｜λ1 0｜P^－1 ｜ 0 λ2| および A^ｎ＝P|λ1 0｜^ｎP^-1 |0 λ2| となることを示せ。ここでP^-1はPの逆行列、ｎは正の整数、A^ｎは行列Aのｎ乗を示す。 (2)固有値が1と－1である2行2列の行列Bがある。この行列のｎ乗B^ｎを求めよ。さらにその逆行列(B^ｎ)^－1を求めよ。B^ｎと(B＾ｎ)^－1の両方において、ｎが偶数と奇数で答えが異なるので、両者を区別して答えを示せ。必要なら2つの正則な正方行列B1、B2の積の逆行列が (B1B2)^－1＝B2^－1B1^－1 となることを使え。 (3)固有値が1と－1で、それぞれに付随する固有ベクトルが(2，1)と(1，1)である2行2列の行列Cを求めよ。 (4)xとyを未知数とする次の連立方程式 |3 －4|^21 |x| ＝|10| |2 －3| |y| |7| を解け。ここで |3 －4|^21 |2 －3| は行列 |3 －4| |2 －3| の21乗を表す。 という問題です。 計算過程、解答のほうをどうかよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の行列式と内積の問題です
nベクトルとmベクトルの内積を〈n,m〉で表す。a∈R^nとする。 n次正方行列A＝［a1 a2 a3 ・・・ an］に対して、 det(［〈ai aj〉］n×n)＝（ det(A) ）^2 を示せ。 ［〈ai aj〉］n×nは、aijを（i,j)成分するn×n行列です。 転置を使って内積を表して証明するらしいのですが、方法がいまいち分かりません。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- AはC上のn次正方行列のとき。
『AはC上のn次正方行列.E_nはn次単位行列,b∈Cとするとき、 1：bはAの固有値である。 2：det(bE_n-A)=0 の二つが同値を示せ』 という問題で、 i）1→2のとき Aの固有ベクトルをxと置く、 Ax＝bx E_nはn次単位行列だから AE_n＝A AE_nx＝Ax＝bx Ax＝bE_nx A＝bE_n このとき次数も等しいから det(bE_n-A)=0. ii）行列(bE_n-A)の次数は0より bE_n-A=0 bE_n=A E_nはn次単位行列 Aはn次正方行列 だから bはAの固有値. この２つから題意は示せますか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の証明問題です。
n次正方行列Aが任意の正則行列Pに対して P^-1APとすると、 (1 1)成分が１ (n 1)成分が０(n≧1) であるn次正方行列になるならば A＝Eである。 証明の方針を教えてくれませんか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
