この図形の辺の長さまたは角度を知りたいです

質問

この図形のa, b, tは分かっている値です。 板厚tの板を寸法a, bに曲げたものを
イメージして下さい。板のカドは直角です。鈍角曲げなのでθは 0≦θ≦90度です。

x1, x2, x3, x4, θのどれかが知りたいです。どれかが分かれば他はCADで作図できますので、
一番容易に算出または作図できるものをお願いいたします。

自分でやってみたこと
　・CADで線、円、接線などで作図しようとしましたら・・・行き詰まりました。
　・上の三角形と下の三角形は相似だから・・・・行き詰まりました。
　・点Oを原点とし、傾き??の直線と直交する線の交点の座標が・・・・行き詰まりました。
・x1 = x4sinθ, x2 = tcosθで足したものが bだから三角関数の合成で・・・・行き詰まりました。

いろいろやってはみたのですが結局行き詰まりました。実際のものづくりでは適当にごにょごにょ
して完成させてしまうので深刻に困っているわけではないのですが、どうもスッキリしなくて
困っておりますので教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

CAD以前に未知数と測定量の関係がよくないと思われる。bが測れて、なぜx1,x2が測れないのかということだ。

ともあれこの問題では

b=x1+x2=atanθ+tcosθ

以外に何もない。この式は既知のa,b,tに対して未知はθだけなので解けるはずである。

tanθ=sinθ/cosθを用いて

bcosθ=asinθ+tcos^2θ

cosθ=pとすると

bp=a√(1-p^2)+tp^2

(bp-tp^2)^2=a^2(1-p^2)

展開すると

t^2p^4-2btp^3+(a^2+b^2)p^2-a^2=0

a/t=α、b/t=βとおいて整理すると

p^4-2βp^3+(α^2+β^2)p^2-α^2=0

α、βは既知である。しかし方程式は４次方程式となり下記のurlにあるフェラーリの方法などを用いて解くことはできるが面倒なのでふつうはやらない。
X1,x2を測ったほうがよい。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

お礼

回答ありがとうございます。
「解けることは解けるが大変すぎる」ことが分かってスッキリしました。
本当にありがとうございます。

おっしゃる通り、「未知数と測定量の関係がよくない」のです。
理由ですが、紙で支給される図面に板厚t と質問図上の寸法a, bが指定されてるものが
たまにあるのです。私はその図面を見て実際に製品を作る立場のものです。
おそらく「幅aと高さbが欲しいよ」との意で描かれてるのだと思います。
ほとんどの場合、曲げ寸法の指定はaとx1が指定されているか、θとx4が
指定されているかのどちらかで、その際は何も問題は起きないのです。

aとbが指定されている場合、CAD上でx1, x2を「適当に」加減し、製作に
支障ない程度の近似値で作図し、残りの辺や角度を調べていたのですが、
単純な図なので何か単純な答えがあるんじゃないか？と思ってしまったのが
運の尽きで、とんでもない問題で頭の体操をしようとしてたんですね。

成績は並だったけど数学は嫌いじゃなかったし、上と下の三角形はよく見りゃ
相似だなあ、中学のときにやったっけなあなんて思って取り組み始めて約１週間が
経ったところです。途中で４次の項が出てきたこともありましたが、その瞬間に
「こりゃダメだこの方法じゃなかった」と回れ右して帰りました(^^)

どうにもスッキリしないのでここで質問させていただいた次第ですが、その日のうちに
的確なお答えをいただけるなんてインターネットってすごい！と思ってしまいましたが、
ここは数学カテゴリなので正確に表現しなくてはいけませんね。

bran111さんってすごい！

ありがとうございました。

回答No.1

qwe2010

板厚があると、曲げる内側が、短くなるか、外側が、長くなる必用があります。
両方が、同時に起きる場合もあります、

寸法が変るところがあるのに、それを考慮しないで書こうとするから、かけないのです。

お礼

回答ありがとうございます。

板を曲げた場合の伸び縮みなどは無視し、辺の長さや角度の問題として数学カテゴリで
質問させていただいております。よろしくお願いします。