各加速度算出方法の確認

このQ&Aのポイント
  • 機械の強度計算のため角加速度を算出する必要があります。
  • 点P2の最大角加速度を求めるためには、円周方向の加速度が必要です。
  • 角加速度はr(πA/30)^2/cos(arcsin(r/R))/Rで求めることができます。
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各加速度算出方法の確認

お世話になります。 機械の強度計算のため角加速度を算出する必要が出ましたが、計算方法に自信が無いためここに質問させて頂きました。 以下の計算で正しいかどうか、間違いの指摘やアドバイスなどを頂ければと思います。 添付画像に本機械の機構を模式的に示します。 点Oを中心に半径r[mm]で点P1が回転数A[rpm]で定速回転しています。 y1=y2,r<Rとなるような機構となっており、点P1に連動して点P2が点Oを中心に半径R[mm]で揺動運動を行います。 このとき点P2の最大角加速度a(rad/s2)を求めたいのです。 まず、 y1=rsin(ωt) が成り立つと思います。 このとき ω=A/60*2*π=πA/30 [rad/s] になります。 tについて微分すると y1'=rωcos(ωt) [mm/s] y1"=-rω^2sin(ωt) [mm/s^2] y1=y2なので y2"=-rω^2sin(ωt) [mm/s^2] sin(ωt)が1(もしくは-1)のときy2及びy2"が最大になるので y2(max)=r y2"(max)=rω^2 y2"はY方向の加速度で必要なのは接線方向の加速度なので y2"が最大になる角度θ[rad]は θ=arcsin(y2/R)=arcsin(r/R) [rad] 円周方向の加速度=y2"(max)/cosθ [mm/s^2] 角加速度に直して a=y2"(max)/cosθ/R [rad/s^2] 代入して a=y2"(max)/cosθ/R =rω^2/cos(arcsin(r/R))/R =r(πA/30)^2/cos(arcsin(r/R))/R [rad/s^2] 以上になります。 宜しくお願い致します。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.4

No.1です。何度も失礼します。 質問者様の解き方は、厳密な意味でも正しいと思います。

Quasar0312
質問者

お礼

丁寧で詳細な回答をありがとうございます。 θの微分でも答えが出たのですね。 勉強になりました。 今後似たような計算が必要になりましたら参考にさせて頂きます。 ありがとうございました。

その他の回答 (3)

回答No.3

No.1です。No.2で計算過程を書きました。ここでは、答えを再度書きます。 a = rω^2 / √(R^2-r^2) です。 しかし、いま、答えをじっくり見ると、質問者様の回答と同じ結果になっていますね。 >代入して >a=y2"(max)/cosθ/R > =rω^2/cos(arcsin(r/R))/R ここで、cos(arcsin(r/R))=√(R^2-r^2)/R であるので、これを代入しても、同じ結果 a = rω^2 / √(R^2-r^2) を得ますね。 いま、見返せば、質問者様の解き方もあっているように感じます。 厳密な意味で、合っているかどうかは、ちょっとすぐにはわからないですね。 少なくとも、答えは合っています。

回答No.2

No.1です。 正解となる計算過程を記述します。 まず、y1=y2であるので、これを y=y(t)=y1=rsinωt(=y2) とおく。y', y''などはtについての微分とする。 次に角度θは、 θ=θ(t)=arcsin(y/R) と表せる。 簡単のため、 Y=Y(t)=y/R とおく。(θ=arcsin Y) これを微分すると、(公式【(arcsin x)'=1/√(1-x^2)】を用いる) θ'=Y' / √(1-Y^2) これをさらに微分すると、(積の微分を用います) θ''=Y'' / √(1-Y^2) + Y' × (-1/2) (-2YY') / √(1-Y^2)^3 これを整理するのだが、関係式 Y''=-ω^2 Y (Y')^2 = r^2ω^2/R^2 - ω^2Y^2 を用いて、Yのみの式でθ''を表すと、 θ''=-ω^2Y / √(1-Y^2) + Y (r^2ω^2/R^2 - ω^2Y^2) / √(1-Y^2)^3 であり、これらをω^2Y√(1-Y^2)^3でくくると、 θ''=ω^2Y/√(1-Y^2)^3 { -(1-Y^2) + (r^2/R^2 - Y^2)} である。中括弧の中を整理すれば、Y^2の項が消え、r^2/R^2 - 1 となるので、まとめると、 θ'' = ω^2(r^2/R^2 - 1) Y / √(1-Y^2)^3  ・・・(☆) を得る。 すなわち、θ''が最大となるのは、 Y/√(1-Y^2)^3が最大となるときだが、 これは、Yが大きくなればなるほど、1/√(1-Y^2)^3も大きくなり、 また、Yも大きくなるので、その積Y/√(1-Y^2)^3も大きくなる。 つまり、Yが最大であるときに、Y/√(1-Y^2)^3も最大となり、 ゆえにθ''も最大となる。 これがNo.1の回答の(1)の証明である。 よって、Yの最大値はr/Rであるので、Y=r/Rであるときを考えればよい。 これを(☆)に代入して、 θ''=ω^2(r^2/R^2 - 1) r/R / √(1-r^2/R^2)^3 =-rω^2(R^2-r^2)/ √(R^2 - r^2 )^3 =-rω^2 / √(R^2 - r^2) よって、a=rω^2 / √(R^2 - r^2).

回答No.1

まず、結論から言うと、上の値は間違っています。 着眼点は次の2点です。 (1) 本当にy2''が最大のときに、角加速度θ''も最大となるのか? (2)上の式で、 >角加速度に直して >a=y2"(max)/cosθ/R [rad/s^2] と書かれており、これはおそらく(弧の長さ)=(半径)×(角度rad)を用いていると思われるが、 これは本当に正しいのか? の2点です。 後ほど証明しますが、まず、(1)は正しいです。 y2''が最大となったときに、角速度も最大となります。 (2)は正しくありません。 角加速度を求める場合は、角度θ=θ(t)=arcsin(y2/R)をtについて 2回微分したθ''が角加速度となります。 θ'が角速度、θ''が角加速度です。 以上が、質問者様の答えが間違っている理由です。 全てをここに書くと量が多くなるので、 次の回答で、計算過程を、その次の回答で、答えを書くことにします。

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