切断された物体の体積

質問

画像のように、半径aの円柱を切断。その体積を求めたいのです。正解は2/3 a^3
なす角θの時の切断面の面積S(θ)を求め、それを0≦θ≦π/4の間で定積分する方法で求めます。
なす角θの時、青線の部分の長さは、a/cosθ。この切断面は、長軸2a/cosθ、短軸2aの楕円を半分にしたものであり、この楕円の面積S(θ)はπ*2a*2a/cosθ*1/2=2πa^2/cosθ。
これを定積分すると、対数関数が出てしまい、正解にたどり着きません。間違っている点を教えて下さい。

回答No.2

nobuyuki0505 · ベストアンサー

補足質問についてです。
私も質問者様の楕円に分割した場合の計算を、修正してみようと頑張ったのですが、
残念ながら無理でした。

まず、極座標の体積表示、ですが、これはたしかに存在します。
それは直交座標系xyzを使用し、
x=rcosφcosθ,y=rcosφsinθ,z=rsinφ
などの変換の場合のみです。

今回の場合は、面積Sと角度θの2次元的な広がりに帰結して問題を解いており、
Sと直交座標系x,y,zとの関係式が明示的でないため、
処理の仕方に悩みます。

ゆえに、解析的に、式変形などにより体積を求める方法は難しいかな、と思います。

図形的に高さをf(θ)dθとして表そうとも試して見たのですが、
いい方法が思いつきません。

以上が補足質問への解答です。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

nobuyuki0505

お答えします。
まず、質問者様の解答がなぜ間違えなのか、を説明します。
そのために、積分の説明から始めます。
∫S(θ)dθの積分は、S(θ)が底面積、dθが高さを表し、
求めたい立体図形を短冊形に分割したものを積分することで、体積を求めます。
しかし、高さがdθということは、次の2つの要求を満たす必要があります。

(1)dθは底面積と直交する。
(2)高さがどの場合でもdθである。つまり、図形を無限小に分割したあとの、その各々の図形が、体積=底面積×高さ、で計算される、いわば○○柱とよばれる形となる。

しかし、質問者様の解き方だと、この(1)(2)のどちらも満たしません。質問者様の解き方は、図形を短冊形ではなく、薄いスイカのような形に分割しております。

これが質問者様の解き方では解けない理由です。

以下、この問題の、おそらく最も標準的な解き方を説明します。

まず、便宜上、直線ABをx軸と表現し、ABの中心Oをx軸の原点とします。

また、x軸に垂直で原点Oを通る平面を、yz平面と表します。

さらに、x軸上の点でx=tとなる点を考え、

この点を通り、yz平面と並行となる平面を、平面x=tと呼ぶことにします。(-a≦t≦a)

平面x=tと考えている図形との共通部分は直角三角形となります。

この直角三角形は角度45度の直角三角形であり、

底辺と高さが√(a^2-t^2)であります。

ゆえにこの三角形の面積は、底辺×高さ÷2より、

(a^2-t^2)/2

となります。

これを-aからaまで、tについて積分すれば、

2/3 a^3を得ます。これが答えとなります。

お礼

回答ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
>(1)dθは底面積と直交する。
>しかし、質問者様の解き方だと、この(1)(2)のどちらも満たしません。
極座標の体積分というのを聞いたことがあります。
dθではなく、rdθであれば(1)は満たしませんか？
（と言いたいのですが、これは楕円ですから、rdθでもダメなような気がします）。