x,yの方程式で定められる関数の導関数(2)

質問

x,yの方程式x^2+y^2=4は、このようにしてdy/dxを求めることができる。

yをxの関数と考えて、x^2+y^2=4の両辺をxについて微分すると、

d/dx(x^2+y^2)=0
2x+2y*dy/dx=0　
したがって、y≠0のとき　dy/dx=-x/y　　＊ここです、ここが理解できません。

なぜy≠0のときdy/dxは-x/yとなるのですか？

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

2x+2y*dy/dx=0
から移項して
2y*dy/dx=-2x
両辺を2yで割って（ここでyがゼロでないことが必要）
dy/dx=-x/y

dy/dxも一つの文字みたいに考えて計算すればいいのです。

お礼

回答どうもありがとうございました。
そうですね、難しく考えるとだめですね。

回答No.2

ki-inage

回答させていただきます。
両辺をｘで微分して
２ｘ＋２ｙｙ’＝０
よってｙ＝－ｘ/ｙです。
即ち２ｙｙ’は２ｙかけるｙ’の意味です。
ここで私が問題にしたいのはｙが０の場合を考える必要がないということです。
何故ならこうゆう関数の場合初めからｘ、ｙは０でない前提です。
最初の関数に戻ると
ｙが０の場合ｘ^2＝４になり意味がありません。ｘが０でも同じです。
例えば違うかもしれませんが例として
ax^2+bx+c=0のｘの解を求めよの場合必ず前提がありますよね。
即ちaが０でない定数、或いは二次方程式です。どちらかがないと答えは出ません。
微積分の世界でも低がｅ(自然対数）なのか10(常用対数）なのか必ず表記しなければなりません。
他には
(１）　ｘｙ＝１　　、（２）ｘｙ＝a (aは定数）の場合

（１）はｙ＝1/ｘ　　　（２）は　ｙ＝a/xとできるか
（１）は正解です。　　　（２）は駄目です。　aが0でないという前提が必要です。
初めからaが０の場合は想定しません。aが０の場合、問題が成立しないからです。
ｘｙ＝０　何の意味がありますか？　どちらか一方が０で良い　こんなバカな。
他には
ｘ^2=-1の　解は
ｘ=プラスマイナスルートー1　又はルートー1をｉ(虚数）で表わせればよろしいですか。
これで正解ですか？半分です。
何故なら大前提としてｘは実数かどうかが問題になります。
ｘが実数なら解なしです。複素数まで広げればOKです。
ここで結論です・
数学の場合前提が必要です。
なければ回答不能です。