電気双極子が作る電位分布に関する質問

質問

電磁気学を勉強しています．
電気双極子が空間上に作る電位分布に関して，分からないことがあるため，質問しました．

テキストやインターネット上で，電気双極子の振る舞いを説明するときに，直交座標系を用いて，+Qと-Qの電荷をそれぞれ(0,0,1/2d)，(0,0,-1/2d)に置き，双極子の中心から距離r，角度θの点P(x,y,z)での電位を求めていると思います．
この例では双極子の重心がO(0,0,0)で，双極子ベクトルと座標系のZ軸が一致しており，Z軸とOPのなす角度がθになると思います．
点Ｐでの電位は，Vp=Qd/4πε*(1/r^2)*cosθ，とされています．

ここで2つ分からないことがあります．

(1)X,Y軸とOPが為す角度Φの影響
点Pを極座標表現で考えた場合，Z軸と成す角度θとOPをXY平面に射影して，X軸と成す角度Φを用いて表現されると思います．
このことから考えると，θが同じでもΦが異なるとVpは異なるのではないか，と思います．様々なテキストで調べてみたのですが，Φを考慮している説明はありませんでした．これは，VpにΦは影響しないとということでしょうか？

(2)双極子重心が原点にない場合
テキストでは，双極子の重心を原点に設定した例で説明されています．双極子の重心が空間上の任意の点(a,b,c)にあり，+極が(a+1/2da，b+1/2db，c+1/2dc)，-極が(a-1/2da，b-1/2db，c-1/2dc)となるよう場合，双極子が作る電位分布はどのようになるのでしょうか？

テキストに記載がない内容ばかりですが，回答をお願いします．

回答No.1

mmitsukuni

(1)X,Y軸とOPが為す角度Φの影響

　　電位分布はその地点と電荷の位置関係で決まります。
　　問題の場合は,絵を描くと分かると思いますが、
　　あるA点の電気双極子との位置関係は、
　　A点をZ軸まわりに回転した位置でも同じになります。
　　従って、電位はZ軸対称になりますので、電位の式にΦは含まれません。

(2)双極子重心が原点にない場合

　　前に述べたように、電位分布はその地点と電荷の位置関係で決まりますので
　　座標系や原点をどのようにとっても結果は同じになります。
　　しかし、この問題を直交座標系などで解こうとすると、
　　（解けないことはありませんが）相当複雑な式になります。

　　この電位分布は、電気双極子の軸にたいして軸(回転)対称で、
　　電気双極子軸中心と直交する平面に対して対称になりますので、
　　電気双極子の軸方向にZ軸をとり、また、電気双極子の中心を
　　原点とする円筒座標系で解くのが一番簡単になります。

　　テキストなどの回答は電気双極子＝原点からの(r,θ,Φ）を用いて
　　解いていると思いますが、これは円筒座標系を使っていると言うことです。

お礼

解答ありがとうございます．
とても分かりやすかったです．